Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4703 / 3745
↖ ↑ ↗
← N 15.241790°
E 26.674805°		 ← 4 714.61 m → N 15.241790°
E 26.718750°		 →
↑
4 715.11 m
↓
↑
4 715.11 m
↓
N 15.199386°
E 26.674805°		 ← 4 715.56 m →
22 232 164 m²		 N 15.199386°
E 26.718750°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4703 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3745 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.57415771484375 y=0.45721435546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.57415771484375 × 213)
    floor (0.57415771484375 × 8192)
    floor (4703.5)     		tx = 4703
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.45721435546875 × 213)
    floor (0.45721435546875 × 8192)
    floor (3745.5)     		ty = 3745
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4703 / 3745 ti = "13/4703/3745"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4703/3745.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4703 ÷ 213
    4703 ÷ 8192     		x = 0.5740966796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3745 ÷ 213
    3745 ÷ 8192     		y = 0.4571533203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5740966796875 × 2 - 1) × π
    0.148193359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.46556317
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4571533203125 × 2 - 1) × π
    0.085693359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.269213628266235
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46556317} λ = 0.46556317}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.269213628266235))-π/2
    2×atan(1.30893473663905)-π/2
    2×0.918407871835538-π/2
    1.83681574367108-1.57079632675     		φ = 0.26601942
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46556317} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.674805°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.26601942 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 15.241790°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4703 KachelY 3745 0.46556317 0.26601942 26.674805 15.241790
    Oben rechts KachelX + 1 4704 KachelY 3745 0.46633016 0.26601942 26.718750 15.241790
    Unten links KachelX 4703 KachelY + 1 3746 0.46556317 0.26527933 26.674805 15.199386
    Unten rechts KachelX + 1 4704 KachelY + 1 3746 0.46633016 0.26527933 26.718750 15.199386
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.26601942-0.26527933) × R
    0.000740090000000027 × 6371000     		dl = 4715.11339000017m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.26601942-0.26527933) × R
    0.000740090000000027 × 6371000     		dr = 4715.11339000017m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46556317-0.46633016) × cos(0.26601942) × R
    0.000766989999999967 × 0.964825003911149 × 6371000     		do = 4714.61090763585m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46556317-0.46633016) × cos(0.26527933) × R
    0.000766989999999967 × 0.965019304115618 × 6371000     		du = 4715.56035428124m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.26601942)-sin(0.26527933))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.964825003911149-0.965019304115618)×R²
    abs(0.46633016-0.46556317)×0.000194300204469866×R²
    0.000766989999999967×0.000194300204469866×6371000²
    0.000766989999999967×0.000194300204469866×40589641000000     		ar = 22232164.4083049m²