Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 47029 / 56951
↖ ↑ ↗
← N 22.940689°
W 50.830994°		 ← 281.27 m → N 22.940689°
W 50.828247°		 →
↑
281.28 m
↓
↑
281.28 m
↓
N 22.938160°
W 50.830994°		 ← 281.27 m →
79 116 m²		 N 22.938160°
W 50.828247°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47029 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56951 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.358806610107422 y=0.434505462646484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.358806610107422 × 217)
    floor (0.358806610107422 × 131072)
    floor (47029.5)     		tx = 47029
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.434505462646484 × 217)
    floor (0.434505462646484 × 131072)
    floor (56951.5)     		ty = 56951
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 47029 / 56951 ti = "17/47029/56951"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/47029/56951.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47029 ÷ 217
    47029 ÷ 131072     		x = 0.358802795410156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56951 ÷ 217
    56951 ÷ 131072     		y = 0.434501647949219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.358802795410156 × 2 - 1) × π
    -0.282394409179688 × 3.1415926535     		Λ = -0.88716820
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.434501647949219 × 2 - 1) × π
    0.130996704101562 × 3.1415926535     		Φ = 0.411538283238182
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.88716820} λ = -0.88716820}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.411538283238182))-π/2
    2×atan(1.5091374813722)-π/2
    2×0.985593441382482-π/2
    1.97118688276496-1.57079632675     		φ = 0.40039056
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.88716820} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -50.830994°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.40039056 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.940689°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47029 KachelY 56951 -0.88716820 0.40039056 -50.830994 22.940689
    Oben rechts KachelX + 1 47030 KachelY 56951 -0.88712026 0.40039056 -50.828247 22.940689
    Unten links KachelX 47029 KachelY + 1 56952 -0.88716820 0.40034641 -50.830994 22.938160
    Unten rechts KachelX + 1 47030 KachelY + 1 56952 -0.88712026 0.40034641 -50.828247 22.938160
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.40039056-0.40034641) × R
    4.41500000000206e-05 × 6371000     		dl = 281.279650000131m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.40039056-0.40034641) × R
    4.41500000000206e-05 × 6371000     		dr = 281.279650000131m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.88716820--0.88712026) × cos(0.40039056) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.920908832530988 × 6371000     		do = 281.269261648129m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.88716820--0.88712026) × cos(0.40034641) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.920926040334016 × 6371000     		du = 281.274517354102m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.40039056)-sin(0.40034641))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.920908832530988-0.920926040334016)×R²
    abs(-0.88712026--0.88716820)×1.72078030286071e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.72078030286071e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.72078030286071e-05×40589641000000     		ar = 79116.0586465598m²