Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 47025 / 55312
↖ ↑ ↗
← N 27.019984°
W 50.841980°		 ← 272.09 m → N 27.019984°
W 50.839233°		 →
↑
272.04 m
↓
↑
272.04 m
↓
N 27.017537°
W 50.841980°		 ← 272.09 m →
74 020 m²		 N 27.017537°
W 50.839233°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47025 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55312 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.358776092529297 y=0.422000885009766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.358776092529297 × 217)
    floor (0.358776092529297 × 131072)
    floor (47025.5)     		tx = 47025
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.422000885009766 × 217)
    floor (0.422000885009766 × 131072)
    floor (55312.5)     		ty = 55312
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 47025 / 55312 ti = "17/47025/55312"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/47025/55312.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47025 ÷ 217
    47025 ÷ 131072     		x = 0.358772277832031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55312 ÷ 217
    55312 ÷ 131072     		y = 0.4219970703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.358772277832031 × 2 - 1) × π
    -0.282455444335938 × 3.1415926535     		Λ = -0.88735995
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4219970703125 × 2 - 1) × π
    0.156005859375 × 3.1415926535     		Φ = 0.490106861715454
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.88735995} λ = -0.88735995}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.490106861715454))-π/2
    2×atan(1.6324906613872)-π/2
    2×1.02119200577896-π/2
    2.04238401155793-1.57079632675     		φ = 0.47158768
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.88735995} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -50.841980°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.47158768 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.019984°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47025 KachelY 55312 -0.88735995 0.47158768 -50.841980 27.019984
    Oben rechts KachelX + 1 47026 KachelY 55312 -0.88731201 0.47158768 -50.839233 27.019984
    Unten links KachelX 47025 KachelY + 1 55313 -0.88735995 0.47154498 -50.841980 27.017537
    Unten rechts KachelX + 1 47026 KachelY + 1 55313 -0.88731201 0.47154498 -50.839233 27.017537
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.47158768-0.47154498) × R
    4.27000000000066e-05 × 6371000     		dl = 272.041700000042m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.47158768-0.47154498) × R
    4.27000000000066e-05 × 6371000     		dr = 272.041700000042m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.88735995--0.88731201) × cos(0.47158768) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.890848126299601 × 6371000     		do = 272.087948202491m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.88735995--0.88731201) × cos(0.47154498) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.890867524150368 × 6371000     		du = 272.093872805416m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.47158768)-sin(0.47154498))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.890848126299601-0.890867524150368)×R²
    abs(-0.88731201--0.88735995)×1.9397850767322e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.9397850767322e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.9397850767322e-05×40589641000000     		ar = 74020.0738593046m²