Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 47019 / 56973
↖ ↑ ↗
← N 22.885032°
W 50.858459°		 ← 281.38 m → N 22.885032°
W 50.855713°		 →
↑
281.41 m
↓
↑
281.41 m
↓
N 22.882501°
W 50.858459°		 ← 281.39 m →
79 184 m²		 N 22.882501°
W 50.855713°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47019 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56973 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.358730316162109 y=0.434673309326172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.358730316162109 × 217)
    floor (0.358730316162109 × 131072)
    floor (47019.5)     		tx = 47019
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.434673309326172 × 217)
    floor (0.434673309326172 × 131072)
    floor (56973.5)     		ty = 56973
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 47019 / 56973 ti = "17/47019/56973"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/47019/56973.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47019 ÷ 217
    47019 ÷ 131072     		x = 0.358726501464844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56973 ÷ 217
    56973 ÷ 131072     		y = 0.434669494628906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.358726501464844 × 2 - 1) × π
    -0.282546997070312 × 3.1415926535     		Λ = -0.88764757
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.434669494628906 × 2 - 1) × π
    0.130661010742188 × 3.1415926535     		Φ = 0.410483671446541
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.88764757} λ = -0.88764757}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.410483671446541))-π/2
    2×atan(1.50754676613009)-π/2
    2×0.985107740980848-π/2
    1.9702154819617-1.57079632675     		φ = 0.39941916
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.88764757} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -50.858459°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.39941916 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.885032°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47019 KachelY 56973 -0.88764757 0.39941916 -50.858459 22.885032
    Oben rechts KachelX + 1 47020 KachelY 56973 -0.88759963 0.39941916 -50.855713 22.885032
    Unten links KachelX 47019 KachelY + 1 56974 -0.88764757 0.39937499 -50.858459 22.882501
    Unten rechts KachelX + 1 47020 KachelY + 1 56974 -0.88759963 0.39937499 -50.855713 22.882501
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.39941916-0.39937499) × R
    4.417000000001e-05 × 6371000     		dl = 281.407070000064m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.39941916-0.39937499) × R
    4.417000000001e-05 × 6371000     		dr = 281.407070000064m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.88764757--0.88759963) × cos(0.39941916) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.921287028368592 × 6371000     		do = 281.384772392345m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.88764757--0.88759963) × cos(0.39937499) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.921304204444689 × 6371000     		du = 281.390018408098m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.39941916)-sin(0.39937499))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.921287028368592-0.921304204444689)×R²
    abs(-0.88759963--0.88764757)×1.71760760965256e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.71760760965256e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.71760760965256e-05×40589641000000     		ar = 79184.4024874803m²