Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 4701 / 3484
↖ ↑ ↗
← N 25.958045°
E 26.586914°		 ← 4 393.52 m → N 25.958045°
E 26.630859°		 →
↑
4 394.27 m
↓
↑
4 394.27 m
↓
N 25.918526°
E 26.586914°		 ← 4 394.99 m →
19 309 545 m²		 N 25.918526°
E 26.630859°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4701 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3484 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.57391357421875 y=0.42535400390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.57391357421875 × 213)
    floor (0.57391357421875 × 8192)
    floor (4701.5)     		tx = 4701
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.42535400390625 × 213)
    floor (0.42535400390625 × 8192)
    floor (3484.5)     		ty = 3484
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4701 / 3484 ti = "13/4701/3484"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4701/3484.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4701 ÷ 213
    4701 ÷ 8192     		x = 0.5738525390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3484 ÷ 213
    3484 ÷ 8192     		y = 0.42529296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5738525390625 × 2 - 1) × π
    0.147705078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.46402919
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.42529296875 × 2 - 1) × π
    0.1494140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.46939812107959
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46402919} λ = 0.46402919}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.46939812107959))-π/2
    2×atan(1.59903148018709)-π/2
    2×1.011924836856-π/2
    2.02384967371201-1.57079632675     		φ = 0.45305335
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46402919} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.586914°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.45305335 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.958045°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4701 KachelY 3484 0.46402919 0.45305335 26.586914 25.958045
    Oben rechts KachelX + 1 4702 KachelY 3484 0.46479618 0.45305335 26.630859 25.958045
    Unten links KachelX 4701 KachelY + 1 3485 0.46402919 0.45236362 26.586914 25.918526
    Unten rechts KachelX + 1 4702 KachelY + 1 3485 0.46479618 0.45236362 26.630859 25.918526
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.45305335-0.45236362) × R
    0.00068973 × 6371000     		dl = 4394.26983m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.45305335-0.45236362) × R
    0.00068973 × 6371000     		dr = 4394.26983m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46402919-0.46479618) × cos(0.45305335) × R
    0.000766990000000023 × 0.89911480499604 × 6371000     		do = 4393.51846155294m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46402919-0.46479618) × cos(0.45236362) × R
    0.000766990000000023 × 0.899416494811696 × 6371000     		du = 4394.9926668128m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.45305335)-sin(0.45236362))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.89911480499604-0.899416494811696)×R²
    abs(0.46479618-0.46402919)×0.000301689815656037×R²
    0.000766990000000023×0.000301689815656037×6371000²
    0.000766990000000023×0.000301689815656037×40589641000000     		ar = 19309545.4165053m²