Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 47008 / 55456
↖ ↑ ↗
← N 26.667096°
W 50.888672°		 ← 272.94 m → N 26.667096°
W 50.885925°		 →
↑
272.87 m
↓
↑
272.87 m
↓
N 26.664642°
W 50.888672°		 ← 272.94 m →
74 477 m²		 N 26.664642°
W 50.885925°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47008 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55456 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.358646392822266 y=0.423099517822266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.358646392822266 × 217)
    floor (0.358646392822266 × 131072)
    floor (47008.5)     		tx = 47008
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.423099517822266 × 217)
    floor (0.423099517822266 × 131072)
    floor (55456.5)     		ty = 55456
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 47008 / 55456 ti = "17/47008/55456"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/47008/55456.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47008 ÷ 217
    47008 ÷ 131072     		x = 0.358642578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55456 ÷ 217
    55456 ÷ 131072     		y = 0.423095703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.358642578125 × 2 - 1) × π
    -0.28271484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.88817488
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.423095703125 × 2 - 1) × π
    0.15380859375 × 3.1415926535     		Φ = 0.483203948170166
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.88817488} λ = -0.88817488}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.483203948170166))-π/2
    2×atan(1.62126052441363)-π/2
    2×1.01811247522829-π/2
    2.03622495045659-1.57079632675     		φ = 0.46542862
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.88817488} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -50.888672°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.46542862 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.667096°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47008 KachelY 55456 -0.88817488 0.46542862 -50.888672 26.667096
    Oben rechts KachelX + 1 47009 KachelY 55456 -0.88812694 0.46542862 -50.885925 26.667096
    Unten links KachelX 47008 KachelY + 1 55457 -0.88817488 0.46538579 -50.888672 26.664642
    Unten rechts KachelX + 1 47009 KachelY + 1 55457 -0.88812694 0.46538579 -50.885925 26.664642
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.46542862-0.46538579) × R
    4.28299999999937e-05 × 6371000     		dl = 272.86992999996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.46542862-0.46538579) × R
    4.28299999999937e-05 × 6371000     		dr = 272.86992999996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.88817488--0.88812694) × cos(0.46542862) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.89362928052719 × 6371000     		do = 272.937384290506m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.88817488--0.88812694) × cos(0.46538579) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.893648502062957 × 6371000     		du = 272.943255042291m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.46542862)-sin(0.46538579))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.89362928052719-0.893648502062957)×R²
    abs(-0.88812694--0.88817488)×1.92215357672776e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.92215357672776e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.92215357672776e-05×40589641000000     		ar = 74477.2059329332m²