Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 47004 / 55181
↖ ↑ ↗
← N 27.340055°
W 50.899658°		 ← 271.25 m → N 27.340055°
W 50.896912°		 →
↑
271.28 m
↓
↑
271.28 m
↓
N 27.337615°
W 50.899658°		 ← 271.26 m →
73 585 m²		 N 27.337615°
W 50.896912°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47004 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55181 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.358615875244141 y=0.421001434326172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.358615875244141 × 217)
    floor (0.358615875244141 × 131072)
    floor (47004.5)     		tx = 47004
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.421001434326172 × 217)
    floor (0.421001434326172 × 131072)
    floor (55181.5)     		ty = 55181
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 47004 / 55181 ti = "17/47004/55181"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/47004/55181.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47004 ÷ 217
    47004 ÷ 131072     		x = 0.358612060546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55181 ÷ 217
    55181 ÷ 131072     		y = 0.420997619628906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.358612060546875 × 2 - 1) × π
    -0.28277587890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.88836662
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.420997619628906 × 2 - 1) × π
    0.158004760742188 × 3.1415926535     		Φ = 0.496386595565681
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.88836662} λ = -0.88836662}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.496386595565681))-π/2
    2×atan(1.64277452441972)-π/2
    2×1.02398514961882-π/2
    2.04797029923765-1.57079632675     		φ = 0.47717397
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.88836662} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -50.899658°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.47717397 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.340055°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47004 KachelY 55181 -0.88836662 0.47717397 -50.899658 27.340055
    Oben rechts KachelX + 1 47005 KachelY 55181 -0.88831869 0.47717397 -50.896912 27.340055
    Unten links KachelX 47004 KachelY + 1 55182 -0.88836662 0.47713139 -50.899658 27.337615
    Unten rechts KachelX + 1 47005 KachelY + 1 55182 -0.88831869 0.47713139 -50.896912 27.337615
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.47717397-0.47713139) × R
    4.25800000000143e-05 × 6371000     		dl = 271.277180000091m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.47717397-0.47713139) × R
    4.25800000000143e-05 × 6371000     		dr = 271.277180000091m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.88836662--0.88831869) × cos(0.47717397) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.888296380879712 × 6371000     		do = 271.251986107248m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.88836662--0.88831869) × cos(0.47713139) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.88831593581917 × 6371000     		du = 271.257957443257m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.47717397)-sin(0.47713139))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.888296380879712-0.88831593581917)×R²
    abs(-0.88831869--0.88836662)×1.95549394580441e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.95549394580441e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.95549394580441e-05×40589641000000     		ar = 73585.2838152415m²