Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 47003 / 55183
↖ ↑ ↗
← N 27.335175°
W 50.902405°		 ← 271.32 m → N 27.335175°
W 50.899658°		 →
↑
271.34 m
↓
↑
271.34 m
↓
N 27.332735°
W 50.902405°		 ← 271.33 m →
73 621 m²		 N 27.332735°
W 50.899658°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47003 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55183 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.358608245849609 y=0.421016693115234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.358608245849609 × 217)
    floor (0.358608245849609 × 131072)
    floor (47003.5)     		tx = 47003
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.421016693115234 × 217)
    floor (0.421016693115234 × 131072)
    floor (55183.5)     		ty = 55183
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 47003 / 55183 ti = "17/47003/55183"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/47003/55183.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47003 ÷ 217
    47003 ÷ 131072     		x = 0.358604431152344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55183 ÷ 217
    55183 ÷ 131072     		y = 0.421012878417969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.358604431152344 × 2 - 1) × π
    -0.282791137695312 × 3.1415926535     		Λ = -0.88841456
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.421012878417969 × 2 - 1) × π
    0.157974243164062 × 3.1415926535     		Φ = 0.496290721766441
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.88841456} λ = -0.88841456}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.496290721766441))-π/2
    2×atan(1.64261703293454)-π/2
    2×1.02394256650698-π/2
    2.04788513301397-1.57079632675     		φ = 0.47708881
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.88841456} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -50.902405°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.47708881 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.335175°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47003 KachelY 55183 -0.88841456 0.47708881 -50.902405 27.335175
    Oben rechts KachelX + 1 47004 KachelY 55183 -0.88836662 0.47708881 -50.899658 27.335175
    Unten links KachelX 47003 KachelY + 1 55184 -0.88841456 0.47704622 -50.902405 27.332735
    Unten rechts KachelX + 1 47004 KachelY + 1 55184 -0.88836662 0.47704622 -50.899658 27.332735
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.47708881-0.47704622) × R
    4.25899999999535e-05 × 6371000     		dl = 271.340889999704m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.47708881-0.47704622) × R
    4.25899999999535e-05 × 6371000     		dr = 271.340889999704m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.88841456--0.88836662) × cos(0.47708881) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.888335489148061 × 6371000     		do = 271.32052414113m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.88841456--0.88836662) × cos(0.47704622) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.888355045457921 × 6371000     		du = 271.326497141541m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.47708881)-sin(0.47704622))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.888335489148061-0.888355045457921)×R²
    abs(-0.88836662--0.88841456)×1.95563098606133e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.95563098606133e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.95563098606133e-05×40589641000000     		ar = 73621.1628663964m²