Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 47002 / 55184
↖ ↑ ↗
← N 27.332735°
W 50.905152°		 ← 271.33 m → N 27.332735°
W 50.902405°		 →
↑
271.28 m
↓
↑
271.28 m
↓
N 27.330295°
W 50.905152°		 ← 271.33 m →
73 605 m²		 N 27.330295°
W 50.902405°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47002 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55184 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.358600616455078 y=0.421024322509766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.358600616455078 × 217)
    floor (0.358600616455078 × 131072)
    floor (47002.5)     		tx = 47002
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.421024322509766 × 217)
    floor (0.421024322509766 × 131072)
    floor (55184.5)     		ty = 55184
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 47002 / 55184 ti = "17/47002/55184"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/47002/55184.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47002 ÷ 217
    47002 ÷ 131072     		x = 0.358596801757812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55184 ÷ 217
    55184 ÷ 131072     		y = 0.4210205078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.358596801757812 × 2 - 1) × π
    -0.282806396484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.88846250
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4210205078125 × 2 - 1) × π
    0.157958984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.496242784866821
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.88846250} λ = -0.88846250}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.496242784866821))-π/2
    2×atan(1.64253829285401)-π/2
    2×1.02392127424802-π/2
    2.04784254849603-1.57079632675     		φ = 0.47704622
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.88846250} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -50.905152°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.47704622 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.332735°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47002 KachelY 55184 -0.88846250 0.47704622 -50.905152 27.332735
    Oben rechts KachelX + 1 47003 KachelY 55184 -0.88841456 0.47704622 -50.902405 27.332735
    Unten links KachelX 47002 KachelY + 1 55185 -0.88846250 0.47700364 -50.905152 27.330295
    Unten rechts KachelX + 1 47003 KachelY + 1 55185 -0.88841456 0.47700364 -50.902405 27.330295
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.47704622-0.47700364) × R
    4.25800000000143e-05 × 6371000     		dl = 271.277180000091m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.47704622-0.47700364) × R
    4.25800000000143e-05 × 6371000     		dr = 271.277180000091m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.88846250--0.88841456) × cos(0.47704622) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.888355045457921 × 6371000     		do = 271.32649714217m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.88846250--0.88841456) × cos(0.47700364) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.888374595565194 × 6371000     		du = 271.332468248151m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.47704622)-sin(0.47700364))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.888355045457921-0.888374595565194)×R²
    abs(-0.88841456--0.88846250)×1.95501072727255e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.95501072727255e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.95501072727255e-05×40589641000000     		ar = 73605.4969275153m²