Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4700 / 3756
↖ ↑ ↗
← N 14.774883°
E 26.542969°		 ← 4 724.92 m → N 14.774883°
E 26.586914°		 →
↑
4 725.43 m
↓
↑
4 725.43 m
↓
N 14.732386°
E 26.542969°		 ← 4 725.85 m →
22 329 494 m²		 N 14.732386°
E 26.586914°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4700 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3756 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.57379150390625 y=0.45855712890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.57379150390625 × 213)
    floor (0.57379150390625 × 8192)
    floor (4700.5)     		tx = 4700
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.45855712890625 × 213)
    floor (0.45855712890625 × 8192)
    floor (3756.5)     		ty = 3756
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4700 / 3756 ti = "13/4700/3756"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4700/3756.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4700 ÷ 213
    4700 ÷ 8192     		x = 0.57373046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3756 ÷ 213
    3756 ÷ 8192     		y = 0.45849609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.57373046875 × 2 - 1) × π
    0.1474609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.46326220
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.45849609375 × 2 - 1) × π
    0.0830078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.260776733933105
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46326220} λ = 0.46326220}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.260776733933105))-π/2
    2×atan(1.29793784760334)-π/2
    2×0.914333336560855-π/2
    1.82866667312171-1.57079632675     		φ = 0.25787035
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46326220} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.542969°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.25787035 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 14.774883°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4700 KachelY 3756 0.46326220 0.25787035 26.542969 14.774883
    Oben rechts KachelX + 1 4701 KachelY 3756 0.46402919 0.25787035 26.586914 14.774883
    Unten links KachelX 4700 KachelY + 1 3757 0.46326220 0.25712864 26.542969 14.732386
    Unten rechts KachelX + 1 4701 KachelY + 1 3757 0.46402919 0.25712864 26.586914 14.732386
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.25787035-0.25712864) × R
    0.000741710000000007 × 6371000     		dl = 4725.43441000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.25787035-0.25712864) × R
    0.000741710000000007 × 6371000     		dr = 4725.43441000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46326220-0.46402919) × cos(0.25787035) × R
    0.000766989999999967 × 0.966935277831868 × 6371000     		do = 4724.92274698951m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46326220-0.46402919) × cos(0.25712864) × R
    0.000766989999999967 × 0.967124164134685 × 6371000     		du = 4725.8457386408m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.25787035)-sin(0.25712864))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.966935277831868-0.967124164134685)×R²
    abs(0.46402919-0.46326220)×0.000188886302817881×R²
    0.000766989999999967×0.000188886302817881×6371000²
    0.000766989999999967×0.000188886302817881×40589641000000     		ar = 22329494.3251535m²