Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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10 / 470 / 615
↖ ↑ ↗
← S 34.016242°
W 14.765625°		 ← 32.402 km → S 34.016242°
W 14.414063°		 →
↑
32.347 km
↓
↑
32.347 km
↓
S 34.307144°
W 14.765625°		 ← 32.291 km →
1 046.32 km²		 S 34.307144°
W 14.414063°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 470 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 615 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.45947265625 y=0.60107421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.45947265625 × 210)
    floor (0.45947265625 × 1024)
    floor (470.5)     		tx = 470
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.60107421875 × 210)
    floor (0.60107421875 × 1024)
    floor (615.5)     		ty = 615
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 470 / 615 ti = "10/470/615"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/470/615.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 470 ÷ 210
    470 ÷ 1024     		x = 0.458984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 615 ÷ 210
    615 ÷ 1024     		y = 0.6005859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.458984375 × 2 - 1) × π
    -0.08203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.25770877
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6005859375 × 2 - 1) × π
    -0.201171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.63200008459082
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25770877} λ = -0.25770877}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.63200008459082))-π/2
    2×atan(0.531527636916357)-π/2
    2×0.488550453340181-π/2
    0.977100906680362-1.57079632675     		φ = -0.59369542
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25770877} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.765625°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.59369542 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -34.016242°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 470 KachelY 615 -0.25770877 -0.59369542 -14.765625 -34.016242
    Oben rechts KachelX + 1 471 KachelY 615 -0.25157285 -0.59369542 -14.414063 -34.016242
    Unten links KachelX 470 KachelY + 1 616 -0.25770877 -0.59877262 -14.765625 -34.307144
    Unten rechts KachelX + 1 471 KachelY + 1 616 -0.25157285 -0.59877262 -14.414063 -34.307144
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.59369542--0.59877262) × R
    0.0050772 × 6371000     		dl = 32346.8412m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.59369542--0.59877262) × R
    0.0050772 × 6371000     		dr = 32346.8412m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25770877--0.25157285) × cos(-0.59369542) × R
    0.00613591999999996 × 0.828879022418254 × 6371000     		do = 32402.4942501483m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25770877--0.25157285) × cos(-0.59877262) × R
    0.00613591999999996 × 0.826028023946516 × 6371000     		du = 32291.0431709327m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.59369542)-sin(-0.59877262))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.828879022418254-0.826028023946516)×R²
    abs(-0.25157285--0.25770877)×0.0028509984717382×R²
    0.00613591999999996×0.0028509984717382×6371000²
    0.00613591999999996×0.0028509984717382×40589641000000     		ar = 1046318038.47597m²