Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 470 / 309
↖ ↑ ↗
← N 77.273855°
W 97.382812°		 ← 4 305.81 m → N 77.273855°
W 97.207031°		 →
↑
4 312.28 m
↓
↑
4 312.28 m
↓
N 77.235073°
W 97.382812°		 ← 4 318.71 m →
18 595 654 m²		 N 77.235073°
W 97.207031°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 470 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 309 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.229736328125 y=0.151123046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.229736328125 × 211)
    floor (0.229736328125 × 2048)
    floor (470.5)     		tx = 470
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.151123046875 × 211)
    floor (0.151123046875 × 2048)
    floor (309.5)     		ty = 309
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 470 / 309 ti = "11/470/309"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/470/309.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 470 ÷ 211
    470 ÷ 2048     		x = 0.2294921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 309 ÷ 211
    309 ÷ 2048     		y = 0.15087890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2294921875 × 2 - 1) × π
    -0.541015625 × 3.1415926535     		Λ = -1.69965071
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.15087890625 × 2 - 1) × π
    0.6982421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.19359252661377
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.69965071} λ = -1.69965071}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.19359252661377))-π/2
    2×atan(8.9673708347593)-π/2
    2×1.45973975883225-π/2
    2.9194795176645-1.57079632675     		φ = 1.34868319
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.69965071} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -97.382812°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34868319 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.273855°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 470 KachelY 309 -1.69965071 1.34868319 -97.382812 77.273855
    Oben rechts KachelX + 1 471 KachelY 309 -1.69658275 1.34868319 -97.207031 77.273855
    Unten links KachelX 470 KachelY + 1 310 -1.69965071 1.34800633 -97.382812 77.235073
    Unten rechts KachelX + 1 471 KachelY + 1 310 -1.69658275 1.34800633 -97.207031 77.235073
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34868319-1.34800633) × R
    0.000676860000000001 × 6371000     		dl = 4312.27506000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34868319-1.34800633) × R
    0.000676860000000001 × 6371000     		dr = 4312.27506000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.69965071--1.69658275) × cos(1.34868319) × R
    0.00306796000000009 × 0.220291339119025 × 6371000     		do = 4305.80860180105m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.69965071--1.69658275) × cos(1.34800633) × R
    0.00306796000000009 × 0.220951520946196 × 6371000     		du = 4318.71249807566m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34868319)-sin(1.34800633))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.220291339119025-0.220951520946196)×R²
    abs(-1.69658275--1.69965071)×0.000660181827171147×R²
    0.00306796000000009×0.000660181827171147×6371000²
    0.00306796000000009×0.000660181827171147×40589641000000     		ar = 18595654.3316703m²