Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 46991 / 56221
↖ ↑ ↗
← N 24.774266°
W 50.935364°		 ← 277.26 m → N 24.774266°
W 50.932617°		 →
↑
277.27 m
↓
↑
277.27 m
↓
N 24.771772°
W 50.935364°		 ← 277.26 m →
76 875 m²		 N 24.771772°
W 50.932617°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 46991 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56221 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.358516693115234 y=0.428936004638672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.358516693115234 × 217)
    floor (0.358516693115234 × 131072)
    floor (46991.5)     		tx = 46991
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.428936004638672 × 217)
    floor (0.428936004638672 × 131072)
    floor (56221.5)     		ty = 56221
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 46991 / 56221 ti = "17/46991/56221"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/46991/56221.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 46991 ÷ 217
    46991 ÷ 131072     		x = 0.358512878417969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56221 ÷ 217
    56221 ÷ 131072     		y = 0.428932189941406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.358512878417969 × 2 - 1) × π
    -0.282974243164062 × 3.1415926535     		Λ = -0.88898980
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.428932189941406 × 2 - 1) × π
    0.142135620117188 × 3.1415926535     		Φ = 0.446532219960823
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.88898980} λ = -0.88898980}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.446532219960823))-π/2
    2×atan(1.56288304277517)-π/2
    2×1.00159442048346-π/2
    2.00318884096692-1.57079632675     		φ = 0.43239251
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.88898980} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -50.935364°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.43239251 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.774266°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 46991 KachelY 56221 -0.88898980 0.43239251 -50.935364 24.774266
    Oben rechts KachelX + 1 46992 KachelY 56221 -0.88894187 0.43239251 -50.932617 24.774266
    Unten links KachelX 46991 KachelY + 1 56222 -0.88898980 0.43234899 -50.935364 24.771772
    Unten rechts KachelX + 1 46992 KachelY + 1 56222 -0.88894187 0.43234899 -50.932617 24.771772
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.43239251-0.43234899) × R
    4.35200000000191e-05 × 6371000     		dl = 277.265920000122m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.43239251-0.43234899) × R
    4.35200000000191e-05 × 6371000     		dr = 277.265920000122m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.88898980--0.88894187) × cos(0.43239251) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.907965781556825 × 6371000     		do = 277.258274226898m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.88898980--0.88894187) × cos(0.43234899) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.907984017505651 × 6371000     		du = 277.263842793251m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.43239251)-sin(0.43234899))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.907965781556825-0.907984017505651)×R²
    abs(-0.88894187--0.88898980)×1.82359488263284e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.82359488263284e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.82359488263284e-05×40589641000000     		ar = 76875.0424800966m²