Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4699 / 3491
↖ ↑ ↗
← N 25.681137°
E 26.499024°		 ← 4 403.80 m → N 25.681137°
E 26.542969°		 →
↑
4 404.53 m
↓
↑
4 404.53 m
↓
N 25.641526°
E 26.499024°		 ← 4 405.27 m →
19 399 898 m²		 N 25.641526°
E 26.542969°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4699 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3491 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.57366943359375 y=0.42620849609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.57366943359375 × 213)
    floor (0.57366943359375 × 8192)
    floor (4699.5)     		tx = 4699
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.42620849609375 × 213)
    floor (0.42620849609375 × 8192)
    floor (3491.5)     		ty = 3491
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4699 / 3491 ti = "13/4699/3491"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4699/3491.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4699 ÷ 213
    4699 ÷ 8192     		x = 0.5736083984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3491 ÷ 213
    3491 ÷ 8192     		y = 0.4261474609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5736083984375 × 2 - 1) × π
    0.147216796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.46249521
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4261474609375 × 2 - 1) × π
    0.147705078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.464029188322144
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46249521} λ = 0.46249521}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.464029188322144))-π/2
    2×atan(1.59046939289554)-π/2
    2×1.00950836447375-π/2
    2.0190167289475-1.57079632675     		φ = 0.44822040
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46249521} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.499024°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.44822040 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.681137°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4699 KachelY 3491 0.46249521 0.44822040 26.499024 25.681137
    Oben rechts KachelX + 1 4700 KachelY 3491 0.46326220 0.44822040 26.542969 25.681137
    Unten links KachelX 4699 KachelY + 1 3492 0.46249521 0.44752906 26.499024 25.641526
    Unten rechts KachelX + 1 4700 KachelY + 1 3492 0.46326220 0.44752906 26.542969 25.641526
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.44822040-0.44752906) × R
    0.00069134000000004 × 6371000     		dl = 4404.52714000026m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.44822040-0.44752906) × R
    0.00069134000000004 × 6371000     		dr = 4404.52714000026m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46249521-0.46326220) × cos(0.44822040) × R
    0.000766990000000023 × 0.90121974076173 × 6371000     		do = 4403.80421604787m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46249521-0.46326220) × cos(0.44752906) × R
    0.000766990000000023 × 0.901519126137334 × 6371000     		du = 4405.26716067688m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.44822040)-sin(0.44752906))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.90121974076173-0.901519126137334)×R²
    abs(0.46326220-0.46249521)×0.000299385375603367×R²
    0.000766990000000023×0.000299385375603367×6371000²
    0.000766990000000023×0.000299385375603367×40589641000000     		ar = 19399897.7511757m²