Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 46986 / 56962
↖ ↑ ↗
← N 22.912864°
W 50.949097°		 ← 281.33 m → N 22.912864°
W 50.946350°		 →
↑
281.34 m
↓
↑
281.34 m
↓
N 22.910333°
W 50.949097°		 ← 281.33 m →
79 150 m²		 N 22.910333°
W 50.946350°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 46986 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56962 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.358478546142578 y=0.434589385986328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.358478546142578 × 217)
    floor (0.358478546142578 × 131072)
    floor (46986.5)     		tx = 46986
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.434589385986328 × 217)
    floor (0.434589385986328 × 131072)
    floor (56962.5)     		ty = 56962
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 46986 / 56962 ti = "17/46986/56962"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/46986/56962.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 46986 ÷ 217
    46986 ÷ 131072     		x = 0.358474731445312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56962 ÷ 217
    56962 ÷ 131072     		y = 0.434585571289062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.358474731445312 × 2 - 1) × π
    -0.283050537109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.88922949
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.434585571289062 × 2 - 1) × π
    0.130828857421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.411010977342361
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.88922949} λ = -0.88922949}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.411010977342361))-π/2
    2×atan(1.50834191405277)-π/2
    2×0.985350616109799-π/2
    1.9707012322196-1.57079632675     		φ = 0.39990491
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.88922949} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -50.949097°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.39990491 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.912864°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 46986 KachelY 56962 -0.88922949 0.39990491 -50.949097 22.912864
    Oben rechts KachelX + 1 46987 KachelY 56962 -0.88918155 0.39990491 -50.946350 22.912864
    Unten links KachelX 46986 KachelY + 1 56963 -0.88922949 0.39986075 -50.949097 22.910333
    Unten rechts KachelX + 1 46987 KachelY + 1 56963 -0.88918155 0.39986075 -50.946350 22.910333
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.39990491-0.39986075) × R
    4.41600000000153e-05 × 6371000     		dl = 281.343360000097m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.39990491-0.39986075) × R
    4.41600000000153e-05 × 6371000     		dr = 281.343360000097m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.88922949--0.88918155) × cos(0.39990491) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.921098019628833 × 6371000     		do = 281.327044257486m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.88922949--0.88918155) × cos(0.39986075) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.921115211576931 × 6371000     		du = 281.332295120956m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.39990491)-sin(0.39986075))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.921098019628833-0.921115211576931)×R²
    abs(-0.88918155--0.88922949)×1.71919480981275e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.71919480981275e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.71919480981275e-05×40589641000000     		ar = 79150.2345509859m²