Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 46986 / 56199
↖ ↑ ↗
← N 24.829117°
W 50.949097°		 ← 277.19 m → N 24.829117°
W 50.946350°		 →
↑
277.14 m
↓
↑
277.14 m
↓
N 24.826625°
W 50.949097°		 ← 277.20 m →
76 822 m²		 N 24.826625°
W 50.946350°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 46986 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56199 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.358478546142578 y=0.428768157958984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.358478546142578 × 217)
    floor (0.358478546142578 × 131072)
    floor (46986.5)     		tx = 46986
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.428768157958984 × 217)
    floor (0.428768157958984 × 131072)
    floor (56199.5)     		ty = 56199
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 46986 / 56199 ti = "17/46986/56199"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/46986/56199.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 46986 ÷ 217
    46986 ÷ 131072     		x = 0.358474731445312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56199 ÷ 217
    56199 ÷ 131072     		y = 0.428764343261719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.358474731445312 × 2 - 1) × π
    -0.283050537109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.88922949
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.428764343261719 × 2 - 1) × π
    0.142471313476562 × 3.1415926535     		Φ = 0.447586831752464
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.88922949} λ = -0.88922949}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.447586831752464))-π/2
    2×atan(1.56453214709062)-π/2
    2×1.00207309034236-π/2
    2.00414618068472-1.57079632675     		φ = 0.43334985
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.88922949} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -50.949097°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.43334985 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.829117°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 46986 KachelY 56199 -0.88922949 0.43334985 -50.949097 24.829117
    Oben rechts KachelX + 1 46987 KachelY 56199 -0.88918155 0.43334985 -50.946350 24.829117
    Unten links KachelX 46986 KachelY + 1 56200 -0.88922949 0.43330635 -50.949097 24.826625
    Unten rechts KachelX + 1 46987 KachelY + 1 56200 -0.88918155 0.43330635 -50.946350 24.826625
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.43334985-0.43330635) × R
    4.34999999999741e-05 × 6371000     		dl = 277.138499999835m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.43334985-0.43330635) × R
    4.34999999999741e-05 × 6371000     		dr = 277.138499999835m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.88922949--0.88918155) × cos(0.43334985) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.907564197656536 × 6371000     		do = 277.193466666572m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.88922949--0.88918155) × cos(0.43330635) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.907582463028877 × 6371000     		du = 277.199045381436m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.43334985)-sin(0.43330635))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.907564197656536-0.907582463028877)×R²
    abs(-0.88918155--0.88922949)×1.82653723413972e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.82653723413972e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.82653723413972e-05×40589641000000     		ar = 76821.7546122442m²