Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 46985 / 56961
↖ ↑ ↗
← N 22.915393°
W 50.951843°		 ← 281.26 m → N 22.915393°
W 50.949097°		 →
↑
281.28 m
↓
↑
281.28 m
↓
N 22.912864°
W 50.951843°		 ← 281.27 m →
79 114 m²		 N 22.912864°
W 50.949097°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 46985 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56961 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.358470916748047 y=0.434581756591797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.358470916748047 × 217)
    floor (0.358470916748047 × 131072)
    floor (46985.5)     		tx = 46985
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.434581756591797 × 217)
    floor (0.434581756591797 × 131072)
    floor (56961.5)     		ty = 56961
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 46985 / 56961 ti = "17/46985/56961"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/46985/56961.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 46985 ÷ 217
    46985 ÷ 131072     		x = 0.358467102050781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56961 ÷ 217
    56961 ÷ 131072     		y = 0.434577941894531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.358467102050781 × 2 - 1) × π
    -0.283065795898438 × 3.1415926535     		Λ = -0.88927742
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.434577941894531 × 2 - 1) × π
    0.130844116210938 × 3.1415926535     		Φ = 0.411058914241981
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.88927742} λ = -0.88927742}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.411058914241981))-π/2
    2×atan(1.50841422102077)-π/2
    2×0.985372693195472-π/2
    1.97074538639094-1.57079632675     		φ = 0.39994906
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.88927742} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -50.951843°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.39994906 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.915393°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 46985 KachelY 56961 -0.88927742 0.39994906 -50.951843 22.915393
    Oben rechts KachelX + 1 46986 KachelY 56961 -0.88922949 0.39994906 -50.949097 22.915393
    Unten links KachelX 46985 KachelY + 1 56962 -0.88927742 0.39990491 -50.951843 22.912864
    Unten rechts KachelX + 1 46986 KachelY + 1 56962 -0.88922949 0.39990491 -50.949097 22.912864
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.39994906-0.39990491) × R
    4.41500000000206e-05 × 6371000     		dl = 281.279650000131m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.39994906-0.39990491) × R
    4.41500000000206e-05 × 6371000     		dr = 281.279650000131m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.88927742--0.88922949) × cos(0.39994906) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.921080829778211 × 6371000     		do = 281.263111975331m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.88927742--0.88922949) × cos(0.39990491) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.921098019628833 × 6371000     		du = 281.268361103012m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.39994906)-sin(0.39990491))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.921080829778211-0.921098019628833)×R²
    abs(-0.88922949--0.88927742)×1.71898506221568e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.71898506221568e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.71898506221568e-05×40589641000000     		ar = 79114.3279435833m²