Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4698 / 3562
↖ ↑ ↗
← N 22.836946°
E 26.455078°		 ← 4 503.46 m → N 22.836946°
E 26.499024°		 →
↑
4 504.17 m
↓
↑
4 504.17 m
↓
N 22.796439°
E 26.455078°		 ← 4 504.80 m →
20 287 348 m²		 N 22.796439°
E 26.499024°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4698 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3562 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.57354736328125 y=0.43487548828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.57354736328125 × 213)
    floor (0.57354736328125 × 8192)
    floor (4698.5)     		tx = 4698
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.43487548828125 × 213)
    floor (0.43487548828125 × 8192)
    floor (3562.5)     		ty = 3562
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4698 / 3562 ti = "13/4698/3562"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4698/3562.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4698 ÷ 213
    4698 ÷ 8192     		x = 0.573486328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3562 ÷ 213
    3562 ÷ 8192     		y = 0.434814453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.573486328125 × 2 - 1) × π
    0.14697265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.46172822
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.434814453125 × 2 - 1) × π
    0.13037109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.40957287035376
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46172822} λ = 0.46172822}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.40957287035376))-π/2
    2×atan(1.5061743159975)-π/2
    2×0.984688112102233-π/2
    1.96937622420447-1.57079632675     		φ = 0.39857990
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46172822} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.455078°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.39857990 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.836946°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4698 KachelY 3562 0.46172822 0.39857990 26.455078 22.836946
    Oben rechts KachelX + 1 4699 KachelY 3562 0.46249521 0.39857990 26.499024 22.836946
    Unten links KachelX 4698 KachelY + 1 3563 0.46172822 0.39787292 26.455078 22.796439
    Unten rechts KachelX + 1 4699 KachelY + 1 3563 0.46249521 0.39787292 26.499024 22.796439
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.39857990-0.39787292) × R
    0.000706979999999968 × 6371000     		dl = 4504.1695799998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.39857990-0.39787292) × R
    0.000706979999999968 × 6371000     		dr = 4504.1695799998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46172822-0.46249521) × cos(0.39857990) × R
    0.000766989999999967 × 0.921613078060589 × 6371000     		do = 4503.45612191912m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46172822-0.46249521) × cos(0.39787292) × R
    0.000766989999999967 × 0.9218872336905 × 6371000     		du = 4504.7957815651m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.39857990)-sin(0.39787292))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.921613078060589-0.9218872336905)×R²
    abs(0.46249521-0.46172822)×0.000274155629911177×R²
    0.000766989999999967×0.000274155629911177×6371000²
    0.000766989999999967×0.000274155629911177×40589641000000     		ar = 20287347.9413278m²