Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 46976 / 55680
↖ ↑ ↗
← N 26.115986°
W 50.976563°		 ← 274.24 m → N 26.115986°
W 50.973816°		 →
↑
274.21 m
↓
↑
274.21 m
↓
N 26.113520°
W 50.976563°		 ← 274.25 m →
75 200 m²		 N 26.113520°
W 50.973816°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 46976 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55680 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.358402252197266 y=0.424808502197266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.358402252197266 × 217)
    floor (0.358402252197266 × 131072)
    floor (46976.5)     		tx = 46976
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.424808502197266 × 217)
    floor (0.424808502197266 × 131072)
    floor (55680.5)     		ty = 55680
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 46976 / 55680 ti = "17/46976/55680"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/46976/55680.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 46976 ÷ 217
    46976 ÷ 131072     		x = 0.3583984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55680 ÷ 217
    55680 ÷ 131072     		y = 0.4248046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3583984375 × 2 - 1) × π
    -0.283203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.88970886
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4248046875 × 2 - 1) × π
    0.150390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.472466082655273
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.88970886} λ = -0.88970886}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.472466082655273))-π/2
    2×atan(1.60394478038089)-π/2
    2×1.01330313429217-π/2
    2.02660626858434-1.57079632675     		φ = 0.45580994
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.88970886} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -50.976563°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.45580994 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.115986°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 46976 KachelY 55680 -0.88970886 0.45580994 -50.976563 26.115986
    Oben rechts KachelX + 1 46977 KachelY 55680 -0.88966092 0.45580994 -50.973816 26.115986
    Unten links KachelX 46976 KachelY + 1 55681 -0.88970886 0.45576690 -50.976563 26.113520
    Unten rechts KachelX + 1 46977 KachelY + 1 55681 -0.88966092 0.45576690 -50.973816 26.113520
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.45580994-0.45576690) × R
    4.30400000000497e-05 × 6371000     		dl = 274.207840000317m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.45580994-0.45576690) × R
    4.30400000000497e-05 × 6371000     		dr = 274.207840000317m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.88970886--0.88966092) × cos(0.45580994) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.897904795480173 × 6371000     		do = 274.243236609536m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.88970886--0.88966092) × cos(0.45576690) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.897923740413503 × 6371000     		du = 274.249022879817m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.45580994)-sin(0.45576690))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.897904795480173-0.897923740413503)×R²
    abs(-0.88966092--0.88970886)×1.89449333304337e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.89449333304337e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.89449333304337e-05×40589641000000     		ar = 75200.4388772914m²