Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 46966 / 56086
↖ ↑ ↗
← N 25.110471°
W 51.004029°		 ← 276.56 m → N 25.110471°
W 51.001282°		 →
↑
276.50 m
↓
↑
276.50 m
↓
N 25.107985°
W 51.004029°		 ← 276.57 m →
76 470 m²		 N 25.107985°
W 51.001282°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 46966 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56086 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.358325958251953 y=0.427906036376953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.358325958251953 × 217)
    floor (0.358325958251953 × 131072)
    floor (46966.5)     		tx = 46966
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.427906036376953 × 217)
    floor (0.427906036376953 × 131072)
    floor (56086.5)     		ty = 56086
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 46966 / 56086 ti = "17/46966/56086"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/46966/56086.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 46966 ÷ 217
    46966 ÷ 131072     		x = 0.358322143554688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56086 ÷ 217
    56086 ÷ 131072     		y = 0.427902221679688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.358322143554688 × 2 - 1) × π
    -0.283355712890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.89018823
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.427902221679688 × 2 - 1) × π
    0.144195556640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.453003701409531
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.89018823} λ = -0.89018823}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.453003701409531))-π/2
    2×atan(1.57303000893167)-π/2
    2×1.00452836547296-π/2
    2.00905673094592-1.57079632675     		φ = 0.43826040
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.89018823} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -51.004029°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.43826040 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.110471°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 46966 KachelY 56086 -0.89018823 0.43826040 -51.004029 25.110471
    Oben rechts KachelX + 1 46967 KachelY 56086 -0.89014029 0.43826040 -51.001282 25.110471
    Unten links KachelX 46966 KachelY + 1 56087 -0.89018823 0.43821700 -51.004029 25.107985
    Unten rechts KachelX + 1 46967 KachelY + 1 56087 -0.89014029 0.43821700 -51.001282 25.107985
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.43826040-0.43821700) × R
    4.33999999999712e-05 × 6371000     		dl = 276.501399999817m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.43826040-0.43821700) × R
    4.33999999999712e-05 × 6371000     		dr = 276.501399999817m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.89018823--0.89014029) × cos(0.43826040) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.905491258156586 × 6371000     		do = 276.560337586465m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.89018823--0.89014029) × cos(0.43821700) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.905509674741134 × 6371000     		du = 276.565962485429m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.43826040)-sin(0.43821700))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.905491258156586-0.905509674741134)×R²
    abs(-0.89014029--0.89018823)×1.84165845479312e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.84165845479312e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.84165845479312e-05×40589641000000     		ar = 76470.098185241m²