Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4696 / 3496
↖ ↑ ↗
← N 25.482951°
E 26.367188°		 ← 4 411.10 m → N 25.482951°
E 26.411133°		 →
↑
4 411.85 m
↓
↑
4 411.85 m
↓
N 25.443274°
E 26.367188°		 ← 4 412.56 m →
19 464 350 m²		 N 25.443274°
E 26.411133°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4696 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3496 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.57330322265625 y=0.42681884765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.57330322265625 × 213)
    floor (0.57330322265625 × 8192)
    floor (4696.5)     		tx = 4696
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.42681884765625 × 213)
    floor (0.42681884765625 × 8192)
    floor (3496.5)     		ty = 3496
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4696 / 3496 ti = "13/4696/3496"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4696/3496.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4696 ÷ 213
    4696 ÷ 8192     		x = 0.5732421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3496 ÷ 213
    3496 ÷ 8192     		y = 0.4267578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5732421875 × 2 - 1) × π
    0.146484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.46019424
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4267578125 × 2 - 1) × π
    0.146484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.460194236352539
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46019424} λ = 0.46019424}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.460194236352539))-π/2
    2×atan(1.5843816996312)-π/2
    2×1.00777886395897-π/2
    2.01555772791793-1.57079632675     		φ = 0.44476140
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46019424} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.367188°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.44476140 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.482951°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4696 KachelY 3496 0.46019424 0.44476140 26.367188 25.482951
    Oben rechts KachelX + 1 4697 KachelY 3496 0.46096123 0.44476140 26.411133 25.482951
    Unten links KachelX 4696 KachelY + 1 3497 0.46019424 0.44406891 26.367188 25.443274
    Unten rechts KachelX + 1 4697 KachelY + 1 3497 0.46096123 0.44406891 26.411133 25.443274
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.44476140-0.44406891) × R
    0.00069248999999999 × 6371000     		dl = 4411.85378999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.44476140-0.44406891) × R
    0.00069248999999999 × 6371000     		dr = 4411.85378999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46019424-0.46096123) × cos(0.44476140) × R
    0.000766990000000023 × 0.902713346952603 × 6371000     		do = 4411.10271267747m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46019424-0.46096123) × cos(0.44406891) × R
    0.000766990000000023 × 0.903011069116525 × 6371000     		du = 4412.55753003376m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.44476140)-sin(0.44406891))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.902713346952603-0.903011069116525)×R²
    abs(0.46096123-0.46019424)×0.000297722163921765×R²
    0.000766990000000023×0.000297722163921765×6371000²
    0.000766990000000023×0.000297722163921765×40589641000000     		ar = 19464350.2195711m²