Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 4696 / 2686
↖ ↑ ↗
← N 81.726350°
W128.408203°		 ← 175.80 m → N 81.726350°
W128.397217°		 →
↑
175.84 m
↓
↑
175.84 m
↓
N 81.724769°
W128.408203°		 ← 175.83 m →
30 915 m²		 N 81.724769°
W128.397217°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4696 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2686 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.143325805664062 y=0.0819854736328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.143325805664062 × 215)
    floor (0.143325805664062 × 32768)
    floor (4696.5)     		tx = 4696
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0819854736328125 × 215)
    floor (0.0819854736328125 × 32768)
    floor (2686.5)     		ty = 2686
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 4696 / 2686 ti = "15/4696/2686"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/4696/2686.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4696 ÷ 215
    4696 ÷ 32768     		x = 0.143310546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2686 ÷ 215
    2686 ÷ 32768     		y = 0.08197021484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.143310546875 × 2 - 1) × π
    -0.71337890625 × 3.1415926535     		Λ = -2.24114593
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.08197021484375 × 2 - 1) × π
    0.8360595703125 × 3.1415926535     		Φ = 2.62655860398212
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.24114593} λ = -2.24114593}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.62655860398212))-π/2
    2×atan(13.8261068264354)-π/2
    2×1.49859511090151-π/2
    2.99719022180302-1.57079632675     		φ = 1.42639390
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.24114593} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -128.408203°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42639390 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.726350°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4696 KachelY 2686 -2.24114593 1.42639390 -128.408203 81.726350
    Oben rechts KachelX + 1 4697 KachelY 2686 -2.24095418 1.42639390 -128.397217 81.726350
    Unten links KachelX 4696 KachelY + 1 2687 -2.24114593 1.42636630 -128.408203 81.724769
    Unten rechts KachelX + 1 4697 KachelY + 1 2687 -2.24095418 1.42636630 -128.397217 81.724769
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42639390-1.42636630) × R
    2.76000000001275e-05 × 6371000     		dl = 175.839600000812m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42639390-1.42636630) × R
    2.76000000001275e-05 × 6371000     		dr = 175.839600000812m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.24114593--2.24095418) × cos(1.42639390) × R
    0.000191749999999935 × 0.143901101731407 × 6371000     		do = 175.79523399327m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.24114593--2.24095418) × cos(1.42636630) × R
    0.000191749999999935 × 0.143928414417837 × 6371000     		du = 175.828600243036m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42639390)-sin(1.42636630))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.143901101731407-0.143928414417837)×R²
    abs(-2.24095418--2.24114593)×2.731268642997e-05×R²
    0.000191749999999935×2.731268642997e-05×6371000²
    0.000191749999999935×2.731268642997e-05×40589641000000     		ar = 30914.6971836597m²