Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 46956 / 56084
↖ ↑ ↗
← N 25.115446°
W 51.031494°		 ← 276.49 m → N 25.115446°
W 51.028748°		 →
↑
276.57 m
↓
↑
276.57 m
↓
N 25.112958°
W 51.031494°		 ← 276.50 m →
76 469 m²		 N 25.112958°
W 51.028748°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 46956 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56084 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.358249664306641 y=0.427890777587891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.358249664306641 × 217)
    floor (0.358249664306641 × 131072)
    floor (46956.5)     		tx = 46956
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.427890777587891 × 217)
    floor (0.427890777587891 × 131072)
    floor (56084.5)     		ty = 56084
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 46956 / 56084 ti = "17/46956/56084"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/46956/56084.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 46956 ÷ 217
    46956 ÷ 131072     		x = 0.358245849609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56084 ÷ 217
    56084 ÷ 131072     		y = 0.427886962890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.358245849609375 × 2 - 1) × π
    -0.28350830078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.89066759
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.427886962890625 × 2 - 1) × π
    0.14422607421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.453099575208771
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.89066759} λ = -0.89066759}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.453099575208771))-π/2
    2×atan(1.57318082852465)-π/2
    2×1.00457177103338-π/2
    2.00914354206676-1.57079632675     		φ = 0.43834722
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.89066759} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -51.031494°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.43834722 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.115446°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 46956 KachelY 56084 -0.89066759 0.43834722 -51.031494 25.115446
    Oben rechts KachelX + 1 46957 KachelY 56084 -0.89061966 0.43834722 -51.028748 25.115446
    Unten links KachelX 46956 KachelY + 1 56085 -0.89066759 0.43830381 -51.031494 25.112958
    Unten rechts KachelX + 1 46957 KachelY + 1 56085 -0.89061966 0.43830381 -51.028748 25.112958
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.43834722-0.43830381) × R
    4.3409999999966e-05 × 6371000     		dl = 276.565109999783m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.43834722-0.43830381) × R
    4.3409999999966e-05 × 6371000     		dr = 276.565109999783m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.89066759--0.89061966) × cos(0.43834722) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.905454411382013 × 6371000     		do = 276.491397131595m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.89066759--0.89061966) × cos(0.43830381) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.905472835622449 × 6371000     		du = 276.497023195056m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.43834722)-sin(0.43830381))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.905454411382013-0.905472835622449)×R²
    abs(-0.89061966--0.89066759)×1.84242404356327e-05×R²
    4.79299999999183e-05×1.84242404356327e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×1.84242404356327e-05×40589641000000     		ar = 76468.651660115m²