Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4694 / 3470
↖ ↑ ↗
← N 26.509905°
E 26.279297°		 ← 4 372.71 m → N 26.509905°
E 26.323242°		 →
↑
4 373.50 m
↓
↑
4 373.50 m
↓
N 26.470573°
E 26.279297°		 ← 4 374.21 m →
19 127 338 m²		 N 26.470573°
E 26.323242°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4694 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3470 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.57305908203125 y=0.42364501953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.57305908203125 × 213)
    floor (0.57305908203125 × 8192)
    floor (4694.5)     		tx = 4694
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.42364501953125 × 213)
    floor (0.42364501953125 × 8192)
    floor (3470.5)     		ty = 3470
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4694 / 3470 ti = "13/4694/3470"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4694/3470.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4694 ÷ 213
    4694 ÷ 8192     		x = 0.572998046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3470 ÷ 213
    3470 ÷ 8192     		y = 0.423583984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.572998046875 × 2 - 1) × π
    0.14599609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.45866026
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.423583984375 × 2 - 1) × π
    0.15283203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.480135986594482
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45866026} λ = 0.45866026}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.480135986594482))-π/2
    2×atan(1.61629418159047)-π/2
    2×1.01674072262258-π/2
    2.03348144524515-1.57079632675     		φ = 0.46268512
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45866026} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.279297°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.46268512 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.509905°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4694 KachelY 3470 0.45866026 0.46268512 26.279297 26.509905
    Oben rechts KachelX + 1 4695 KachelY 3470 0.45942725 0.46268512 26.323242 26.509905
    Unten links KachelX 4694 KachelY + 1 3471 0.45866026 0.46199865 26.279297 26.470573
    Unten rechts KachelX + 1 4695 KachelY + 1 3471 0.45942725 0.46199865 26.323242 26.470573
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.46268512-0.46199865) × R
    0.000686469999999995 × 6371000     		dl = 4373.50036999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.46268512-0.46199865) × R
    0.000686469999999995 × 6371000     		dr = 4373.50036999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45866026-0.45942725) × cos(0.46268512) × R
    0.000766990000000023 × 0.894857214808168 × 6371000     		do = 4372.71377566833m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45866026-0.45942725) × cos(0.46199865) × R
    0.000766990000000023 × 0.895163411546397 × 6371000     		du = 4374.21000397511m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.46268512)-sin(0.46199865))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.894857214808168-0.895163411546397)×R²
    abs(0.45942725-0.45866026)×0.000306196738229403×R²
    0.000766990000000023×0.000306196738229403×6371000²
    0.000766990000000023×0.000306196738229403×40589641000000     		ar = 19127337.9444489m²