Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4693 / 3493
↖ ↑ ↗
← N 25.601902°
E 26.235352°		 ← 4 406.73 m → N 25.601902°
E 26.279297°		 →
↑
4 407.46 m
↓
↑
4 407.46 m
↓
N 25.562265°
E 26.235352°		 ← 4 408.19 m →
19 425 687 m²		 N 25.562265°
E 26.279297°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4693 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3493 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.57293701171875 y=0.42645263671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.57293701171875 × 213)
    floor (0.57293701171875 × 8192)
    floor (4693.5)     		tx = 4693
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.42645263671875 × 213)
    floor (0.42645263671875 × 8192)
    floor (3493.5)     		ty = 3493
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4693 / 3493 ti = "13/4693/3493"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4693/3493.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4693 ÷ 213
    4693 ÷ 8192     		x = 0.5728759765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3493 ÷ 213
    3493 ÷ 8192     		y = 0.4263916015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5728759765625 × 2 - 1) × π
    0.145751953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.45789327
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4263916015625 × 2 - 1) × π
    0.147216796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.462495207534302
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45789327} λ = 0.45789327}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.462495207534302))-π/2
    2×atan(1.58803151371115)-π/2
    2×1.00881690800661-π/2
    2.01763381601323-1.57079632675     		φ = 0.44683749
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45789327} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.235352°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.44683749 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.601902°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4693 KachelY 3493 0.45789327 0.44683749 26.235352 25.601902
    Oben rechts KachelX + 1 4694 KachelY 3493 0.45866026 0.44683749 26.279297 25.601902
    Unten links KachelX 4693 KachelY + 1 3494 0.45789327 0.44614569 26.235352 25.562265
    Unten rechts KachelX + 1 4694 KachelY + 1 3494 0.45866026 0.44614569 26.279297 25.562265
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.44683749-0.44614569) × R
    0.00069180000000002 × 6371000     		dl = 4407.45780000013m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.44683749-0.44614569) × R
    0.00069180000000002 × 6371000     		dr = 4407.45780000013m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45789327-0.45866026) × cos(0.44683749) × R
    0.000766989999999967 × 0.901818180017623 × 6371000     		do = 4406.72848545594m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45789327-0.45866026) × cos(0.44614569) × R
    0.000766989999999967 × 0.902116901829309 × 6371000     		du = 4408.18818758432m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.44683749)-sin(0.44614569))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.901818180017623-0.902116901829309)×R²
    abs(0.45866026-0.45789327)×0.000298721811685887×R²
    0.000766989999999967×0.000298721811685887×6371000²
    0.000766989999999967×0.000298721811685887×40589641000000     		ar = 19425687.3982112m²