Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 4693 / 3461
↖ ↑ ↗
← N 26.863280°
E 26.235352°		 ← 4 359.18 m → N 26.863280°
E 26.279297°		 →
↑
4 359.93 m
↓
↑
4 359.93 m
↓
N 26.824071°
E 26.235352°		 ← 4 360.69 m →
19 009 007 m²		 N 26.824071°
E 26.279297°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4693 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3461 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.57293701171875 y=0.42254638671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.57293701171875 × 213)
    floor (0.57293701171875 × 8192)
    floor (4693.5)     		tx = 4693
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.42254638671875 × 213)
    floor (0.42254638671875 × 8192)
    floor (3461.5)     		ty = 3461
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4693 / 3461 ti = "13/4693/3461"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4693/3461.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4693 ÷ 213
    4693 ÷ 8192     		x = 0.5728759765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3461 ÷ 213
    3461 ÷ 8192     		y = 0.4224853515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5728759765625 × 2 - 1) × π
    0.145751953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.45789327
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4224853515625 × 2 - 1) × π
    0.155029296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.487038900139771
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45789327} λ = 0.45789327}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.487038900139771))-π/2
    2×atan(1.6274899177325)-π/2
    2×1.01982451080338-π/2
    2.03964902160676-1.57079632675     		φ = 0.46885269
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45789327} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.235352°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.46885269 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.863280°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4693 KachelY 3461 0.45789327 0.46885269 26.235352 26.863280
    Oben rechts KachelX + 1 4694 KachelY 3461 0.45866026 0.46885269 26.279297 26.863280
    Unten links KachelX 4693 KachelY + 1 3462 0.45789327 0.46816835 26.235352 26.824071
    Unten rechts KachelX + 1 4694 KachelY + 1 3462 0.45866026 0.46816835 26.279297 26.824071
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.46885269-0.46816835) × R
    0.000684340000000005 × 6371000     		dl = 4359.93014000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.46885269-0.46816835) × R
    0.000684340000000005 × 6371000     		dr = 4359.93014000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45789327-0.45866026) × cos(0.46885269) × R
    0.000766989999999967 × 0.892087302250788 × 6371000     		do = 4359.17861654249m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45789327-0.45866026) × cos(0.46816835) × R
    0.000766989999999967 × 0.8923963213167 × 6371000     		du = 4360.68863613456m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.46885269)-sin(0.46816835))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.892087302250788-0.8923963213167)×R²
    abs(0.45866026-0.45789327)×0.000309019065912186×R²
    0.000766989999999967×0.000309019065912186×6371000²
    0.000766989999999967×0.000309019065912186×40589641000000     		ar = 19009006.7677319m²