Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 46917 / 56050
↖ ↑ ↗
← N 25.199971°
W 51.138611°		 ← 276.30 m → N 25.199971°
W 51.135864°		 →
↑
276.31 m
↓
↑
276.31 m
↓
N 25.197486°
W 51.138611°		 ← 276.31 m →
76 345 m²		 N 25.197486°
W 51.135864°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 46917 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56050 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.357952117919922 y=0.427631378173828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.357952117919922 × 217)
    floor (0.357952117919922 × 131072)
    floor (46917.5)     		tx = 46917
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.427631378173828 × 217)
    floor (0.427631378173828 × 131072)
    floor (56050.5)     		ty = 56050
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 46917 / 56050 ti = "17/46917/56050"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/46917/56050.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 46917 ÷ 217
    46917 ÷ 131072     		x = 0.357948303222656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56050 ÷ 217
    56050 ÷ 131072     		y = 0.427627563476562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.357948303222656 × 2 - 1) × π
    -0.284103393554688 × 3.1415926535     		Λ = -0.89253713
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.427627563476562 × 2 - 1) × π
    0.144744873046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.454729429795853
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.89253713} λ = -0.89253713}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.454729429795853))-π/2
    2×atan(1.57574697516921)-π/2
    2×1.00530939511355-π/2
    2.0106187902271-1.57079632675     		φ = 0.43982246
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.89253713} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -51.138611°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.43982246 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.199971°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 46917 KachelY 56050 -0.89253713 0.43982246 -51.138611 25.199971
    Oben rechts KachelX + 1 46918 KachelY 56050 -0.89248920 0.43982246 -51.135864 25.199971
    Unten links KachelX 46917 KachelY + 1 56051 -0.89253713 0.43977909 -51.138611 25.197486
    Unten rechts KachelX + 1 46918 KachelY + 1 56051 -0.89248920 0.43977909 -51.135864 25.197486
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.43982246-0.43977909) × R
    4.33700000000425e-05 × 6371000     		dl = 276.310270000271m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.43982246-0.43977909) × R
    4.33700000000425e-05 × 6371000     		dr = 276.310270000271m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.89253713--0.89248920) × cos(0.43982246) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.904827270253103 × 6371000     		do = 276.299892044015m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.89253713--0.89248920) × cos(0.43977909) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.90484573542993 × 6371000     		du = 276.305530607895m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.43982246)-sin(0.43977909))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.904827270253103-0.90484573542993)×R²
    abs(-0.89248920--0.89253713)×1.84651768262434e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.84651768262434e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.84651768262434e-05×40589641000000     		ar = 76345.2767803383m²