Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4691 / 3452
↖ ↑ ↗
← N 27.215556°
E 26.147461°		 ← 4 345.52 m → N 27.215556°
E 26.191406°		 →
↑
4 346.23 m
↓
↑
4 346.23 m
↓
N 27.176469°
E 26.147461°		 ← 4 347.04 m →
18 889 954 m²		 N 27.176469°
E 26.191406°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4691 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3452 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.57269287109375 y=0.42144775390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.57269287109375 × 213)
    floor (0.57269287109375 × 8192)
    floor (4691.5)     		tx = 4691
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.42144775390625 × 213)
    floor (0.42144775390625 × 8192)
    floor (3452.5)     		ty = 3452
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4691 / 3452 ti = "13/4691/3452"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4691/3452.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4691 ÷ 213
    4691 ÷ 8192     		x = 0.5726318359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3452 ÷ 213
    3452 ÷ 8192     		y = 0.42138671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5726318359375 × 2 - 1) × π
    0.145263671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.45635928
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.42138671875 × 2 - 1) × π
    0.1572265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.493941813685059
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45635928} λ = 0.45635928}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.493941813685059))-π/2
    2×atan(1.63876320442764)-π/2
    2×1.02289869519575-π/2
    2.0457973903915-1.57079632675     		φ = 0.47500106
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45635928} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.147461°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.47500106 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.215556°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4691 KachelY 3452 0.45635928 0.47500106 26.147461 27.215556
    Oben rechts KachelX + 1 4692 KachelY 3452 0.45712627 0.47500106 26.191406 27.215556
    Unten links KachelX 4691 KachelY + 1 3453 0.45635928 0.47431887 26.147461 27.176469
    Unten rechts KachelX + 1 4692 KachelY + 1 3453 0.45712627 0.47431887 26.191406 27.176469
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.47500106-0.47431887) × R
    0.000682189999999971 × 6371000     		dl = 4346.23248999982m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.47500106-0.47431887) × R
    0.000682189999999971 × 6371000     		dr = 4346.23248999982m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45635928-0.45712627) × cos(0.47500106) × R
    0.000766990000000023 × 0.889292236843915 × 6371000     		do = 4345.52054818701m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45635928-0.45712627) × cos(0.47431887) × R
    0.000766990000000023 × 0.889604022247239 × 6371000     		du = 4347.04408546827m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.47500106)-sin(0.47431887))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.889292236843915-0.889604022247239)×R²
    abs(0.45712627-0.45635928)×0.000311785403324438×R²
    0.000766990000000023×0.000311785403324438×6371000²
    0.000766990000000023×0.000311785403324438×40589641000000     		ar = 18889954.1486955m²