Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4691 / 3445
↖ ↑ ↗
← N 27.488781°
E 26.147461°		 ← 4 334.81 m → N 27.488781°
E 26.191406°		 →
↑
4 335.59 m
↓
↑
4 335.59 m
↓
N 27.449790°
E 26.147461°		 ← 4 336.35 m →
18 797 316 m²		 N 27.449790°
E 26.191406°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4691 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3445 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.57269287109375 y=0.42059326171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.57269287109375 × 213)
    floor (0.57269287109375 × 8192)
    floor (4691.5)     		tx = 4691
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.42059326171875 × 213)
    floor (0.42059326171875 × 8192)
    floor (3445.5)     		ty = 3445
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4691 / 3445 ti = "13/4691/3445"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4691/3445.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4691 ÷ 213
    4691 ÷ 8192     		x = 0.5726318359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3445 ÷ 213
    3445 ÷ 8192     		y = 0.4205322265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5726318359375 × 2 - 1) × π
    0.145263671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.45635928
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4205322265625 × 2 - 1) × π
    0.158935546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.499310746442505
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45635928} λ = 0.45635928}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.499310746442505))-π/2
    2×atan(1.64758527523841)-π/2
    2×1.02528303277021-π/2
    2.05056606554042-1.57079632675     		φ = 0.47976974
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45635928} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.147461°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.47976974 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.488781°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4691 KachelY 3445 0.45635928 0.47976974 26.147461 27.488781
    Oben rechts KachelX + 1 4692 KachelY 3445 0.45712627 0.47976974 26.191406 27.488781
    Unten links KachelX 4691 KachelY + 1 3446 0.45635928 0.47908922 26.147461 27.449790
    Unten rechts KachelX + 1 4692 KachelY + 1 3446 0.45712627 0.47908922 26.191406 27.449790
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.47976974-0.47908922) × R
    0.000680520000000018 × 6371000     		dl = 4335.59292000011m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.47976974-0.47908922) × R
    0.000680520000000018 × 6371000     		dr = 4335.59292000011m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45635928-0.45712627) × cos(0.47976974) × R
    0.000766990000000023 × 0.887101228537217 × 6371000     		do = 4334.814200798m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45635928-0.45712627) × cos(0.47908922) × R
    0.000766990000000023 × 0.887415134068556 × 6371000     		du = 4336.34809807058m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.47976974)-sin(0.47908922))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.887101228537217-0.887415134068556)×R²
    abs(0.45712627-0.45635928)×0.000313905531339254×R²
    0.000766990000000023×0.000313905531339254×6371000²
    0.000766990000000023×0.000313905531339254×40589641000000     		ar = 18797315.661005m²