Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 4691 / 2673
↖ ↑ ↗
← N 81.746877°
W128.463135°		 ← 175.36 m → N 81.746877°
W128.452148°		 →
↑
175.39 m
↓
↑
175.39 m
↓
N 81.745300°
W128.463135°		 ← 175.40 m →
30 760 m²		 N 81.745300°
W128.452148°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4691 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2673 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.143173217773438 y=0.0815887451171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.143173217773438 × 215)
    floor (0.143173217773438 × 32768)
    floor (4691.5)     		tx = 4691
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0815887451171875 × 215)
    floor (0.0815887451171875 × 32768)
    floor (2673.5)     		ty = 2673
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 4691 / 2673 ti = "15/4691/2673"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/4691/2673.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4691 ÷ 215
    4691 ÷ 32768     		x = 0.143157958984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2673 ÷ 215
    2673 ÷ 32768     		y = 0.081573486328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.143157958984375 × 2 - 1) × π
    -0.71368408203125 × 3.1415926535     		Λ = -2.24210467
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.081573486328125 × 2 - 1) × π
    0.83685302734375 × 3.1415926535     		Φ = 2.62905132276236
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.24210467} λ = -2.24210467}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.62905132276236))-π/2
    2×atan(13.8606144135664)-π/2
    2×1.4987742423639-π/2
    2.9975484847278-1.57079632675     		φ = 1.42675216
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.24210467} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -128.463135°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42675216 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.746877°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4691 KachelY 2673 -2.24210467 1.42675216 -128.463135 81.746877
    Oben rechts KachelX + 1 4692 KachelY 2673 -2.24191292 1.42675216 -128.452148 81.746877
    Unten links KachelX 4691 KachelY + 1 2674 -2.24210467 1.42672463 -128.463135 81.745300
    Unten rechts KachelX + 1 4692 KachelY + 1 2674 -2.24191292 1.42672463 -128.452148 81.745300
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42675216-1.42672463) × R
    2.75299999998868e-05 × 6371000     		dl = 175.393629999279m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42675216-1.42672463) × R
    2.75299999998868e-05 × 6371000     		dr = 175.393629999279m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.24210467--2.24191292) × cos(1.42675216) × R
    0.000191749999999935 × 0.143546561247691 × 6371000     		do = 175.362113422649m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.24210467--2.24191292) × cos(1.42672463) × R
    0.000191749999999935 × 0.143573806080621 × 6371000     		du = 175.395396779916m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42675216)-sin(1.42672463))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.143546561247691-0.143573806080621)×R²
    abs(-2.24191292--2.24210467)×2.72448329300679e-05×R²
    0.000191749999999935×2.72448329300679e-05×6371000²
    0.000191749999999935×2.72448329300679e-05×40589641000000     		ar = 30760.3164834674m²