Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 46909 / 56045
↖ ↑ ↗
← N 25.212396°
W 51.160584°		 ← 276.33 m → N 25.212396°
W 51.157837°		 →
↑
276.37 m
↓
↑
276.37 m
↓
N 25.209911°
W 51.160584°		 ← 276.33 m →
76 371 m²		 N 25.209911°
W 51.157837°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 46909 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56045 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.357891082763672 y=0.427593231201172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.357891082763672 × 217)
    floor (0.357891082763672 × 131072)
    floor (46909.5)     		tx = 46909
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.427593231201172 × 217)
    floor (0.427593231201172 × 131072)
    floor (56045.5)     		ty = 56045
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 46909 / 56045 ti = "17/46909/56045"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/46909/56045.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 46909 ÷ 217
    46909 ÷ 131072     		x = 0.357887268066406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56045 ÷ 217
    56045 ÷ 131072     		y = 0.427589416503906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.357887268066406 × 2 - 1) × π
    -0.284225463867188 × 3.1415926535     		Λ = -0.89292063
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.427589416503906 × 2 - 1) × π
    0.144821166992188 × 3.1415926535     		Φ = 0.454969114293953
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.89292063} λ = -0.89292063}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.454969114293953))-π/2
    2×atan(1.57612470255797)-π/2
    2×1.00541782611467-π/2
    2.01083565222934-1.57079632675     		φ = 0.44003933
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.89292063} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -51.160584°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.44003933 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.212396°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 46909 KachelY 56045 -0.89292063 0.44003933 -51.160584 25.212396
    Oben rechts KachelX + 1 46910 KachelY 56045 -0.89287269 0.44003933 -51.157837 25.212396
    Unten links KachelX 46909 KachelY + 1 56046 -0.89292063 0.43999595 -51.160584 25.209911
    Unten rechts KachelX + 1 46910 KachelY + 1 56046 -0.89287269 0.43999595 -51.157837 25.209911
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.44003933-0.43999595) × R
    4.33799999999818e-05 × 6371000     		dl = 276.373979999884m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.44003933-0.43999595) × R
    4.33799999999818e-05 × 6371000     		dr = 276.373979999884m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.89292063--0.89287269) × cos(0.44003933) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.90473491032105 × 6371000     		do = 276.329329488459m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.89292063--0.89287269) × cos(0.43999595) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.904753388267377 × 6371000     		du = 276.33497312889m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.44003933)-sin(0.43999595))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.90473491032105-0.904753388267377)×R²
    abs(-0.89287269--0.89292063)×1.84779463272555e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.84779463272555e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.84779463272555e-05×40589641000000     		ar = 76371.0164710693m²