Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 46907 / 56041
↖ ↑ ↗
← N 25.222336°
W 51.166076°		 ← 276.25 m → N 25.222336°
W 51.163330°		 →
↑
276.31 m
↓
↑
276.31 m
↓
N 25.219851°
W 51.166076°		 ← 276.25 m →
76 331 m²		 N 25.219851°
W 51.163330°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 46907 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56041 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.357875823974609 y=0.427562713623047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.357875823974609 × 217)
    floor (0.357875823974609 × 131072)
    floor (46907.5)     		tx = 46907
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.427562713623047 × 217)
    floor (0.427562713623047 × 131072)
    floor (56041.5)     		ty = 56041
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 46907 / 56041 ti = "17/46907/56041"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/46907/56041.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 46907 ÷ 217
    46907 ÷ 131072     		x = 0.357872009277344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56041 ÷ 217
    56041 ÷ 131072     		y = 0.427558898925781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.357872009277344 × 2 - 1) × π
    -0.284255981445312 × 3.1415926535     		Λ = -0.89301650
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.427558898925781 × 2 - 1) × π
    0.144882202148438 × 3.1415926535     		Φ = 0.455160861892433
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.89301650} λ = -0.89301650}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.455160861892433))-π/2
    2×atan(1.57642694966125)-π/2
    2×1.00550456294521-π/2
    2.01100912589042-1.57079632675     		φ = 0.44021280
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.89301650} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -51.166076°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.44021280 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.222336°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 46907 KachelY 56041 -0.89301650 0.44021280 -51.166076 25.222336
    Oben rechts KachelX + 1 46908 KachelY 56041 -0.89296857 0.44021280 -51.163330 25.222336
    Unten links KachelX 46907 KachelY + 1 56042 -0.89301650 0.44016943 -51.166076 25.219851
    Unten rechts KachelX + 1 46908 KachelY + 1 56042 -0.89296857 0.44016943 -51.163330 25.219851
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.44021280-0.44016943) × R
    4.33700000000425e-05 × 6371000     		dl = 276.310270000271m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.44021280-0.44016943) × R
    4.33700000000425e-05 × 6371000     		dr = 276.310270000271m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.89301650--0.89296857) × cos(0.44021280) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.904661002817167 × 6371000     		do = 276.249120282255m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.89301650--0.89296857) × cos(0.44016943) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.904679483310605 × 6371000     		du = 276.254763523246m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.44021280)-sin(0.44016943))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.904661002817167-0.904679483310605)×R²
    abs(-0.89296857--0.89301650)×1.8480493437778e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.8480493437778e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.8480493437778e-05×40589641000000     		ar = 76331.2486672125m²