Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 46906 / 56036
↖ ↑ ↗
← N 25.234758°
W 51.168823°		 ← 276.28 m → N 25.234758°
W 51.166076°		 →
↑
276.25 m
↓
↑
276.25 m
↓
N 25.232274°
W 51.168823°		 ← 276.28 m →
76 322 m²		 N 25.232274°
W 51.166076°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 46906 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56036 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.357868194580078 y=0.427524566650391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.357868194580078 × 217)
    floor (0.357868194580078 × 131072)
    floor (46906.5)     		tx = 46906
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.427524566650391 × 217)
    floor (0.427524566650391 × 131072)
    floor (56036.5)     		ty = 56036
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 46906 / 56036 ti = "17/46906/56036"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/46906/56036.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 46906 ÷ 217
    46906 ÷ 131072     		x = 0.357864379882812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56036 ÷ 217
    56036 ÷ 131072     		y = 0.427520751953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.357864379882812 × 2 - 1) × π
    -0.284271240234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.89306444
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.427520751953125 × 2 - 1) × π
    0.14495849609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.455400546390533
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.89306444} λ = -0.89306444}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.455400546390533))-π/2
    2×atan(1.57680484004889)-π/2
    2×1.00561297401711-π/2
    2.01122594803423-1.57079632675     		φ = 0.44042962
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.89306444} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -51.168823°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.44042962 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.234758°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 46906 KachelY 56036 -0.89306444 0.44042962 -51.168823 25.234758
    Oben rechts KachelX + 1 46907 KachelY 56036 -0.89301650 0.44042962 -51.166076 25.234758
    Unten links KachelX 46906 KachelY + 1 56037 -0.89306444 0.44038626 -51.168823 25.232274
    Unten rechts KachelX + 1 46907 KachelY + 1 56037 -0.89301650 0.44038626 -51.166076 25.232274
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.44042962-0.44038626) × R
    4.33600000000478e-05 × 6371000     		dl = 276.246560000305m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.44042962-0.44038626) × R
    4.33600000000478e-05 × 6371000     		dr = 276.246560000305m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.89306444--0.89301650) × cos(0.44042962) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.904568587616092 × 6371000     		do = 276.278530253219m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.89306444--0.89301650) × cos(0.44038626) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.904587072353258 × 6371000     		du = 276.284175967746m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.44042962)-sin(0.44038626))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.904568587616092-0.904587072353258)×R²
    abs(-0.89301650--0.89306444)×1.84847371659247e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.84847371659247e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.84847371659247e-05×40589641000000     		ar = 76321.7734009706m²