Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 46905 / 56051
↖ ↑ ↗
← N 25.197486°
W 51.171570°		 ← 276.36 m → N 25.197486°
W 51.168823°		 →
↑
276.37 m
↓
↑
276.37 m
↓
N 25.195000°
W 51.171570°		 ← 276.37 m →
76 380 m²		 N 25.195000°
W 51.168823°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 46905 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56051 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.357860565185547 y=0.427639007568359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.357860565185547 × 217)
    floor (0.357860565185547 × 131072)
    floor (46905.5)     		tx = 46905
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.427639007568359 × 217)
    floor (0.427639007568359 × 131072)
    floor (56051.5)     		ty = 56051
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 46905 / 56051 ti = "17/46905/56051"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/46905/56051.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 46905 ÷ 217
    46905 ÷ 131072     		x = 0.357856750488281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56051 ÷ 217
    56051 ÷ 131072     		y = 0.427635192871094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.357856750488281 × 2 - 1) × π
    -0.284286499023438 × 3.1415926535     		Λ = -0.89311238
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.427635192871094 × 2 - 1) × π
    0.144729614257812 × 3.1415926535     		Φ = 0.454681492896233
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.89311238} λ = -0.89311238}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.454681492896233))-π/2
    2×atan(1.57567144055509)-π/2
    2×1.00528770758525-π/2
    2.0105754151705-1.57079632675     		φ = 0.43977909
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.89311238} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -51.171570°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.43977909 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.197486°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 46905 KachelY 56051 -0.89311238 0.43977909 -51.171570 25.197486
    Oben rechts KachelX + 1 46906 KachelY 56051 -0.89306444 0.43977909 -51.168823 25.197486
    Unten links KachelX 46905 KachelY + 1 56052 -0.89311238 0.43973571 -51.171570 25.195000
    Unten rechts KachelX + 1 46906 KachelY + 1 56052 -0.89306444 0.43973571 -51.168823 25.195000
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.43977909-0.43973571) × R
    4.33799999999818e-05 × 6371000     		dl = 276.373979999884m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.43977909-0.43973571) × R
    4.33799999999818e-05 × 6371000     		dr = 276.373979999884m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.89311238--0.89306444) × cos(0.43977909) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.90484573542993 × 6371000     		do = 276.363178329989m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.89311238--0.89306444) × cos(0.43973571) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.904864203161784 × 6371000     		du = 276.368818850657m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.43977909)-sin(0.43973571))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.90484573542993-0.904864203161784)×R²
    abs(-0.89306444--0.89311238)×1.84677318538773e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.84677318538773e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.84677318538773e-05×40589641000000     		ar = 76380.3709790032m²