Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 46903 / 56053
↖ ↑ ↗
← N 25.192515°
W 51.177063°		 ← 276.37 m → N 25.192515°
W 51.174316°		 →
↑
276.37 m
↓
↑
276.37 m
↓
N 25.190030°
W 51.177063°		 ← 276.38 m →
76 383 m²		 N 25.190030°
W 51.174316°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 46903 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56053 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.357845306396484 y=0.427654266357422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.357845306396484 × 217)
    floor (0.357845306396484 × 131072)
    floor (46903.5)     		tx = 46903
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.427654266357422 × 217)
    floor (0.427654266357422 × 131072)
    floor (56053.5)     		ty = 56053
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 46903 / 56053 ti = "17/46903/56053"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/46903/56053.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 46903 ÷ 217
    46903 ÷ 131072     		x = 0.357841491699219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56053 ÷ 217
    56053 ÷ 131072     		y = 0.427650451660156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.357841491699219 × 2 - 1) × π
    -0.284317016601562 × 3.1415926535     		Λ = -0.89320825
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.427650451660156 × 2 - 1) × π
    0.144699096679688 × 3.1415926535     		Φ = 0.454585619096993
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.89320825} λ = -0.89320825}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.454585619096993))-π/2
    2×atan(1.57552038218912)-π/2
    2×1.00524433120084-π/2
    2.01048866240167-1.57079632675     		φ = 0.43969234
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.89320825} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -51.177063°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.43969234 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.192515°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 46903 KachelY 56053 -0.89320825 0.43969234 -51.177063 25.192515
    Oben rechts KachelX + 1 46904 KachelY 56053 -0.89316031 0.43969234 -51.174316 25.192515
    Unten links KachelX 46903 KachelY + 1 56054 -0.89320825 0.43964896 -51.177063 25.190030
    Unten rechts KachelX + 1 46904 KachelY + 1 56054 -0.89316031 0.43964896 -51.174316 25.190030
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.43969234-0.43964896) × R
    4.33800000000373e-05 × 6371000     		dl = 276.373980000238m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.43969234-0.43964896) × R
    4.33800000000373e-05 × 6371000     		dr = 276.373980000238m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.89320825--0.89316031) × cos(0.43969234) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.904882664934231 × 6371000     		do = 276.374457551168m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.89320825--0.89316031) × cos(0.43964896) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.904901129260852 × 6371000     		du = 276.38009703179m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.43969234)-sin(0.43964896))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.904882664934231-0.904901129260852)×R²
    abs(-0.89316031--0.89320825)×1.84643266205597e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.84643266205597e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.84643266205597e-05×40589641000000     		ar = 76383.4881186342m²