Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 46903 / 56039
↖ ↑ ↗
← N 25.227305°
W 51.177063°		 ← 276.30 m → N 25.227305°
W 51.174316°		 →
↑
276.25 m
↓
↑
276.25 m
↓
N 25.224820°
W 51.177063°		 ← 276.30 m →
76 326 m²		 N 25.224820°
W 51.174316°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 46903 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56039 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.357845306396484 y=0.427547454833984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.357845306396484 × 217)
    floor (0.357845306396484 × 131072)
    floor (46903.5)     		tx = 46903
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.427547454833984 × 217)
    floor (0.427547454833984 × 131072)
    floor (56039.5)     		ty = 56039
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 46903 / 56039 ti = "17/46903/56039"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/46903/56039.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 46903 ÷ 217
    46903 ÷ 131072     		x = 0.357841491699219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56039 ÷ 217
    56039 ÷ 131072     		y = 0.427543640136719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.357841491699219 × 2 - 1) × π
    -0.284317016601562 × 3.1415926535     		Λ = -0.89320825
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.427543640136719 × 2 - 1) × π
    0.144912719726562 × 3.1415926535     		Φ = 0.455256735691673
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.89320825} λ = -0.89320825}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.455256735691673))-π/2
    2×atan(1.57657809494746)-π/2
    2×1.005547928703-π/2
    2.011095857406-1.57079632675     		φ = 0.44029953
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.89320825} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -51.177063°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.44029953 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.227305°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 46903 KachelY 56039 -0.89320825 0.44029953 -51.177063 25.227305
    Oben rechts KachelX + 1 46904 KachelY 56039 -0.89316031 0.44029953 -51.174316 25.227305
    Unten links KachelX 46903 KachelY + 1 56040 -0.89320825 0.44025617 -51.177063 25.224820
    Unten rechts KachelX + 1 46904 KachelY + 1 56040 -0.89316031 0.44025617 -51.174316 25.224820
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.44029953-0.44025617) × R
    4.33599999999923e-05 × 6371000     		dl = 276.246559999951m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.44029953-0.44025617) × R
    4.33599999999923e-05 × 6371000     		dr = 276.246559999951m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.89320825--0.89316031) × cos(0.44029953) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.904624040987545 × 6371000     		do = 276.29546714087m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.89320825--0.89316031) × cos(0.44025617) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.904642520622101 × 6371000     		du = 276.301111296929m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.44029953)-sin(0.44025617))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.904624040987545-0.904642520622101)×R²
    abs(-0.89316031--0.89320825)×1.84796345551463e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.84796345551463e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.84796345551463e-05×40589641000000     		ar = 76326.4519425386m²