Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 46902 / 56046
↖ ↑ ↗
← N 25.209911°
W 51.179810°		 ← 276.33 m → N 25.209911°
W 51.177063°		 →
↑
276.31 m
↓
↑
276.31 m
↓
N 25.207426°
W 51.179810°		 ← 276.34 m →
76 355 m²		 N 25.207426°
W 51.177063°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 46902 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56046 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.357837677001953 y=0.427600860595703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.357837677001953 × 217)
    floor (0.357837677001953 × 131072)
    floor (46902.5)     		tx = 46902
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.427600860595703 × 217)
    floor (0.427600860595703 × 131072)
    floor (56046.5)     		ty = 56046
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 46902 / 56046 ti = "17/46902/56046"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/46902/56046.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 46902 ÷ 217
    46902 ÷ 131072     		x = 0.357833862304688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56046 ÷ 217
    56046 ÷ 131072     		y = 0.427597045898438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.357833862304688 × 2 - 1) × π
    -0.284332275390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.89325619
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.427597045898438 × 2 - 1) × π
    0.144805908203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.454921177394333
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.89325619} λ = -0.89325619}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.454921177394333))-π/2
    2×atan(1.57604914983721)-π/2
    2×1.00539614079993-π/2
    2.01079228159987-1.57079632675     		φ = 0.43999595
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.89325619} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -51.179810°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.43999595 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.209911°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 46902 KachelY 56046 -0.89325619 0.43999595 -51.179810 25.209911
    Oben rechts KachelX + 1 46903 KachelY 56046 -0.89320825 0.43999595 -51.177063 25.209911
    Unten links KachelX 46902 KachelY + 1 56047 -0.89325619 0.43995258 -51.179810 25.207426
    Unten rechts KachelX + 1 46903 KachelY + 1 56047 -0.89320825 0.43995258 -51.177063 25.207426
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.43999595-0.43995258) × R
    4.33700000000425e-05 × 6371000     		dl = 276.310270000271m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.43999595-0.43995258) × R
    4.33700000000425e-05 × 6371000     		dr = 276.310270000271m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.89325619--0.89320825) × cos(0.43999595) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.904753388267377 × 6371000     		do = 276.33497312889m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.89325619--0.89320825) × cos(0.43995258) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.904771860252152 × 6371000     		du = 276.340614948509m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.43999595)-sin(0.43995258))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.904753388267377-0.904771860252152)×R²
    abs(-0.89320825--0.89325619)×1.84719847746706e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.84719847746706e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.84719847746706e-05×40589641000000     		ar = 76354.970494074m²