Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 46901 / 56044
↖ ↑ ↗
← N 25.214881°
W 51.182556°		 ← 276.27 m → N 25.214881°
W 51.179810°		 →
↑
276.31 m
↓
↑
276.31 m
↓
N 25.212396°
W 51.182556°		 ← 276.27 m →
76 336 m²		 N 25.212396°
W 51.179810°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 46901 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56044 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.357830047607422 y=0.427585601806641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.357830047607422 × 217)
    floor (0.357830047607422 × 131072)
    floor (46901.5)     		tx = 46901
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.427585601806641 × 217)
    floor (0.427585601806641 × 131072)
    floor (56044.5)     		ty = 56044
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 46901 / 56044 ti = "17/46901/56044"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/46901/56044.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 46901 ÷ 217
    46901 ÷ 131072     		x = 0.357826232910156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56044 ÷ 217
    56044 ÷ 131072     		y = 0.427581787109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.357826232910156 × 2 - 1) × π
    -0.284347534179688 × 3.1415926535     		Λ = -0.89330412
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.427581787109375 × 2 - 1) × π
    0.14483642578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.455017051193573
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.89330412} λ = -0.89330412}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.455017051193573))-π/2
    2×atan(1.57620025890058)-π/2
    2×1.00543951098659-π/2
    2.01087902197319-1.57079632675     		φ = 0.44008270
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.89330412} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -51.182556°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.44008270 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.214881°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 46901 KachelY 56044 -0.89330412 0.44008270 -51.182556 25.214881
    Oben rechts KachelX + 1 46902 KachelY 56044 -0.89325619 0.44008270 -51.179810 25.214881
    Unten links KachelX 46901 KachelY + 1 56045 -0.89330412 0.44003933 -51.182556 25.212396
    Unten rechts KachelX + 1 46902 KachelY + 1 56045 -0.89325619 0.44003933 -51.179810 25.212396
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.44008270-0.44003933) × R
    4.3369999999987e-05 × 6371000     		dl = 276.310269999917m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.44008270-0.44003933) × R
    4.3369999999987e-05 × 6371000     		dr = 276.310269999917m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.89330412--0.89325619) × cos(0.44008270) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.904716434932313 × 6371000     		do = 276.266047145463m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.89330412--0.89325619) × cos(0.44003933) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.90473491032105 × 6371000     		du = 276.271688827673m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.44008270)-sin(0.44003933))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.904716434932313-0.90473491032105)×R²
    abs(-0.89325619--0.89330412)×1.84753887364497e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.84753887364497e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.84753887364497e-05×40589641000000     		ar = 76335.92551787m²