Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 46900 / 56037
↖ ↑ ↗
← N 25.232274°
W 51.185303°		 ← 276.28 m → N 25.232274°
W 51.182556°		 →
↑
276.25 m
↓
↑
276.25 m
↓
N 25.229790°
W 51.185303°		 ← 276.29 m →
76 323 m²		 N 25.229790°
W 51.182556°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 46900 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56037 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.357822418212891 y=0.427532196044922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.357822418212891 × 217)
    floor (0.357822418212891 × 131072)
    floor (46900.5)     		tx = 46900
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.427532196044922 × 217)
    floor (0.427532196044922 × 131072)
    floor (56037.5)     		ty = 56037
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 46900 / 56037 ti = "17/46900/56037"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/46900/56037.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 46900 ÷ 217
    46900 ÷ 131072     		x = 0.357818603515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56037 ÷ 217
    56037 ÷ 131072     		y = 0.427528381347656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.357818603515625 × 2 - 1) × π
    -0.28436279296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.89335206
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.427528381347656 × 2 - 1) × π
    0.144943237304688 × 3.1415926535     		Φ = 0.455352609490913
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.89335206} λ = -0.89335206}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.455352609490913))-π/2
    2×atan(1.57672925472523)-π/2
    2×1.00559129268879-π/2
    2.01118258537759-1.57079632675     		φ = 0.44038626
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.89335206} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -51.185303°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.44038626 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.232274°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 46900 KachelY 56037 -0.89335206 0.44038626 -51.185303 25.232274
    Oben rechts KachelX + 1 46901 KachelY 56037 -0.89330412 0.44038626 -51.182556 25.232274
    Unten links KachelX 46900 KachelY + 1 56038 -0.89335206 0.44034290 -51.185303 25.229790
    Unten rechts KachelX + 1 46901 KachelY + 1 56038 -0.89330412 0.44034290 -51.182556 25.229790
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.44038626-0.44034290) × R
    4.33599999999923e-05 × 6371000     		dl = 276.246559999951m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.44038626-0.44034290) × R
    4.33599999999923e-05 × 6371000     		dr = 276.246559999951m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.89335206--0.89330412) × cos(0.44038626) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.904587072353258 × 6371000     		do = 276.284175967746m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.89335206--0.89330412) × cos(0.44034290) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.904605555389719 × 6371000     		du = 276.289821162835m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.44038626)-sin(0.44034290))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.904587072353258-0.904605555389719)×R²
    abs(-0.89330412--0.89335206)×1.84830364611255e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.84830364611255e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.84830364611255e-05×40589641000000     		ar = 76323.3329383515m²