Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4690 / 3862
↖ ↑ ↗
← N 10.228437°
E 26.103515°		 ← 4 808.84 m → N 10.228437°
E 26.147461°		 →
↑
4 809.15 m
↓
↑
4 809.15 m
↓
N 10.185188°
E 26.103515°		 ← 4 809.49 m →
23 127 979 m²		 N 10.185188°
E 26.147461°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4690 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3862 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.57257080078125 y=0.47149658203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.57257080078125 × 213)
    floor (0.57257080078125 × 8192)
    floor (4690.5)     		tx = 4690
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.47149658203125 × 213)
    floor (0.47149658203125 × 8192)
    floor (3862.5)     		ty = 3862
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4690 / 3862 ti = "13/4690/3862"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4690/3862.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4690 ÷ 213
    4690 ÷ 8192     		x = 0.572509765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3862 ÷ 213
    3862 ÷ 8192     		y = 0.471435546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.572509765625 × 2 - 1) × π
    0.14501953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.45559229
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.471435546875 × 2 - 1) × π
    0.05712890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.17947575217749
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45559229} λ = 0.45559229}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.17947575217749))-π/2
    2×atan(1.19658988901646)-π/2
    2×0.874658117208979-π/2
    1.74931623441796-1.57079632675     		φ = 0.17851991
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45559229} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.103515°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.17851991 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 10.228437°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4690 KachelY 3862 0.45559229 0.17851991 26.103515 10.228437
    Oben rechts KachelX + 1 4691 KachelY 3862 0.45635928 0.17851991 26.147461 10.228437
    Unten links KachelX 4690 KachelY + 1 3863 0.45559229 0.17776506 26.103515 10.185188
    Unten rechts KachelX + 1 4691 KachelY + 1 3863 0.45635928 0.17776506 26.147461 10.185188
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.17851991-0.17776506) × R
    0.000754850000000001 × 6371000     		dl = 4809.14935000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.17851991-0.17776506) × R
    0.000754850000000001 × 6371000     		dr = 4809.14935000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45559229-0.45635928) × cos(0.17851991) × R
    0.000766989999999967 × 0.984107594936239 × 6371000     		do = 4808.83515929376m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45559229-0.45635928) × cos(0.17776506) × R
    0.000766989999999967 × 0.984241355682506 × 6371000     		du = 4809.48878028286m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.17851991)-sin(0.17776506))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.984107594936239-0.984241355682506)×R²
    abs(0.45635928-0.45559229)×0.000133760746267253×R²
    0.000766989999999967×0.000133760746267253×6371000²
    0.000766989999999967×0.000133760746267253×40589641000000     		ar = 23127979.2592434m²