Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4690 / 3494
↖ ↑ ↗
← N 25.562265°
E 26.103515°		 ← 4 408.19 m → N 25.562265°
E 26.147461°		 →
↑
4 408.92 m
↓
↑
4 408.92 m
↓
N 25.522615°
E 26.103515°		 ← 4 409.65 m →
19 438 578 m²		 N 25.522615°
E 26.147461°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4690 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3494 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.57257080078125 y=0.42657470703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.57257080078125 × 213)
    floor (0.57257080078125 × 8192)
    floor (4690.5)     		tx = 4690
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.42657470703125 × 213)
    floor (0.42657470703125 × 8192)
    floor (3494.5)     		ty = 3494
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4690 / 3494 ti = "13/4690/3494"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4690/3494.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4690 ÷ 213
    4690 ÷ 8192     		x = 0.572509765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3494 ÷ 213
    3494 ÷ 8192     		y = 0.426513671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.572509765625 × 2 - 1) × π
    0.14501953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.45559229
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.426513671875 × 2 - 1) × π
    0.14697265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.461728217140381
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45559229} λ = 0.45559229}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.461728217140381))-π/2
    2×atan(1.58681397577453)-π/2
    2×1.00847100777605-π/2
    2.01694201555211-1.57079632675     		φ = 0.44614569
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45559229} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.103515°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.44614569 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.562265°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4690 KachelY 3494 0.45559229 0.44614569 26.103515 25.562265
    Oben rechts KachelX + 1 4691 KachelY 3494 0.45635928 0.44614569 26.147461 25.562265
    Unten links KachelX 4690 KachelY + 1 3495 0.45559229 0.44545366 26.103515 25.522615
    Unten rechts KachelX + 1 4691 KachelY + 1 3495 0.45635928 0.44545366 26.147461 25.522615
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.44614569-0.44545366) × R
    0.00069203000000001 × 6371000     		dl = 4408.92313000006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.44614569-0.44545366) × R
    0.00069203000000001 × 6371000     		dr = 4408.92313000006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45559229-0.45635928) × cos(0.44614569) × R
    0.000766989999999967 × 0.902116901829309 × 6371000     		do = 4408.18818758432m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45559229-0.45635928) × cos(0.44545366) × R
    0.000766989999999967 × 0.90241529099888 × 6371000     		du = 4409.64626425924m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.44614569)-sin(0.44545366))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.902116901829309-0.90241529099888)×R²
    abs(0.45635928-0.45559229)×0.000298389169571034×R²
    0.000766989999999967×0.000298389169571034×6371000²
    0.000766989999999967×0.000298389169571034×40589641000000     		ar = 19438577.911393m²