Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 4690 / 3490
↖ ↑ ↗
← N 25.720735°
E 26.103515°		 ← 4 402.34 m → N 25.720735°
E 26.147461°		 →
↑
4 403.06 m
↓
↑
4 403.06 m
↓
N 25.681137°
E 26.103515°		 ← 4 403.80 m →
19 386 999 m²		 N 25.681137°
E 26.147461°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4690 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3490 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.57257080078125 y=0.42608642578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.57257080078125 × 213)
    floor (0.57257080078125 × 8192)
    floor (4690.5)     		tx = 4690
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.42608642578125 × 213)
    floor (0.42608642578125 × 8192)
    floor (3490.5)     		ty = 3490
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4690 / 3490 ti = "13/4690/3490"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4690/3490.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4690 ÷ 213
    4690 ÷ 8192     		x = 0.572509765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3490 ÷ 213
    3490 ÷ 8192     		y = 0.426025390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.572509765625 × 2 - 1) × π
    0.14501953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.45559229
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.426025390625 × 2 - 1) × π
    0.14794921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.464796178716064
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45559229} λ = 0.45559229}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.464796178716064))-π/2
    2×atan(1.59168973557745)-π/2
    2×1.0098539204559-π/2
    2.01970784091181-1.57079632675     		φ = 0.44891151
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45559229} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.103515°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.44891151 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.720735°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4690 KachelY 3490 0.45559229 0.44891151 26.103515 25.720735
    Oben rechts KachelX + 1 4691 KachelY 3490 0.45635928 0.44891151 26.147461 25.720735
    Unten links KachelX 4690 KachelY + 1 3491 0.45559229 0.44822040 26.103515 25.681137
    Unten rechts KachelX + 1 4691 KachelY + 1 3491 0.45635928 0.44822040 26.147461 25.681137
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.44891151-0.44822040) × R
    0.000691109999999995 × 6371000     		dl = 4403.06180999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.44891151-0.44822040) × R
    0.000691109999999995 × 6371000     		dr = 4403.06180999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45559229-0.45635928) × cos(0.44891151) × R
    0.000766989999999967 × 0.90092002446388 × 6371000     		do = 4402.3396543692m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45559229-0.45635928) × cos(0.44822040) × R
    0.000766989999999967 × 0.90121974076173 × 6371000     		du = 4403.80421604755m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.44891151)-sin(0.44822040))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.90092002446388-0.90121974076173)×R²
    abs(0.45635928-0.45559229)×0.000299716297850305×R²
    0.000766989999999967×0.000299716297850305×6371000²
    0.000766989999999967×0.000299716297850305×40589641000000     		ar = 19386998.6562546m²