Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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10 / 469 / 614
↖ ↑ ↗
← S 33.724340°
W 15.117188°		 ← 32.514 km → S 33.724340°
W 14.765625°		 →
↑
32.458 km
↓
↑
32.458 km
↓
S 34.016242°
W 15.117188°		 ← 32.403 km →
1 053.53 km²		 S 34.016242°
W 14.765625°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 469 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 614 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.45849609375 y=0.60009765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.45849609375 × 210)
    floor (0.45849609375 × 1024)
    floor (469.5)     		tx = 469
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.60009765625 × 210)
    floor (0.60009765625 × 1024)
    floor (614.5)     		ty = 614
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 469 / 614 ti = "10/469/614"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/469/614.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 469 ÷ 210
    469 ÷ 1024     		x = 0.4580078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 614 ÷ 210
    614 ÷ 1024     		y = 0.599609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4580078125 × 2 - 1) × π
    -0.083984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.26384470
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.599609375 × 2 - 1) × π
    -0.19921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.625864161439453
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26384470} λ = -0.26384470}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.625864161439453))-π/2
    2×atan(0.534799076034804)-π/2
    2×0.491097780825684-π/2
    0.982195561651369-1.57079632675     		φ = -0.58860077
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26384470} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.117188°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.58860077 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.724340°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 469 KachelY 614 -0.26384470 -0.58860077 -15.117188 -33.724340
    Oben rechts KachelX + 1 470 KachelY 614 -0.25770877 -0.58860077 -14.765625 -33.724340
    Unten links KachelX 469 KachelY + 1 615 -0.26384470 -0.59369542 -15.117188 -34.016242
    Unten rechts KachelX + 1 470 KachelY + 1 615 -0.25770877 -0.59369542 -14.765625 -34.016242
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.58860077--0.59369542) × R
    0.00509464999999998 × 6371000     		dl = 32458.0151499999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.58860077--0.59369542) × R
    0.00509464999999998 × 6371000     		dr = 32458.0151499999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26384470--0.25770877) × cos(-0.58860077) × R
    0.00613593000000001 × 0.831718342454006 × 6371000     		do = 32513.541785347m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26384470--0.25770877) × cos(-0.59369542) × R
    0.00613593000000001 × 0.828879022418254 × 6371000     		du = 32402.547058031m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.58860077)-sin(-0.59369542))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.831718342454006-0.828879022418254)×R²
    abs(-0.25770877--0.26384470)×0.00283932003575182×R²
    0.00613593000000001×0.00283932003575182×6371000²
    0.00613593000000001×0.00283932003575182×40589641000000     		ar = 1053525976.3087m²