Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
9 / 469 / 458
↖ ↑ ↗
← S 80.415708°
E149.765625°		 ← 13.018 km → S 80.415708°
E150.468750°		 →
↑
12.939 km
↓
↑
12.939 km
↓
S 80.532071°
E149.765625°		 ← 12.861 km →
167.420 km²		 S 80.532071°
E150.468750°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 9 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 469 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 458 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.9169921875 y=0.8955078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=9 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.9169921875 × 29)
    floor (0.9169921875 × 512)
    floor (469.5)     		tx = 469
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.8955078125 × 29)
    floor (0.8955078125 × 512)
    floor (458.5)     		ty = 458
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 9 / 469 / 458 ti = "9/469/458"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/9/469/458.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 469 ÷ 29
    469 ÷ 512     		x = 0.916015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 458 ÷ 29
    458 ÷ 512     		y = 0.89453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.916015625 × 2 - 1) × π
    0.83203125 × 3.1415926535     		Λ = 2.61390326
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.89453125 × 2 - 1) × π
    -0.7890625 × 3.1415926535     		Φ = -2.47891295315234
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.61390326} λ = 2.61390326}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.47891295315234))-π/2
    2×atan(0.0838343078979861)-π/2
    2×0.0836387307887637-π/2
    0.167277461577527-1.57079632675     		φ = -1.40351887
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.61390326} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.765625°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40351887 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.415708°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 469 KachelY 458 2.61390326 -1.40351887 149.765625 -80.415708
    Oben rechts KachelX + 1 470 KachelY 458 2.62617511 -1.40351887 150.468750 -80.415708
    Unten links KachelX 469 KachelY + 1 459 2.61390326 -1.40554979 149.765625 -80.532071
    Unten rechts KachelX + 1 470 KachelY + 1 459 2.62617511 -1.40554979 150.468750 -80.532071
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40351887--1.40554979) × R
    0.00203091999999994 × 6371000     		dl = 12938.9913199996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40351887--1.40554979) × R
    0.00203091999999994 × 6371000     		dr = 12938.9913199996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.61390326-2.62617511) × cos(-1.40351887) × R
    0.0122718500000003 × 0.166498428261839 × 6371000     		do = 13017.5058475675m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.61390326-2.62617511) × cos(-1.40554979) × R
    0.0122718500000003 × 0.164495514416111 × 6371000     		du = 12860.9101188804m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40351887)-sin(-1.40554979))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.166498428261839-0.164495514416111)×R²
    abs(2.62617511-2.61390326)×0.00200291384572734×R²
    0.0122718500000003×0.00200291384572734×6371000²
    0.0122718500000003×0.00200291384572734×40589641000000     		ar = 167420357.328278m²