Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
10 / 469 / 237
↖ ↑ ↗
← N 69.037142°
W 15.117188°		 ← 13.986 km → N 69.037142°
W 14.765625°		 →
↑
14.026 km
↓
↑
14.026 km
↓
N 68.911005°
W 15.117188°		 ← 14.066 km →
196.723 km²		 N 68.911005°
W 14.765625°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 469 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 237 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.45849609375 y=0.23193359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.45849609375 × 210)
    floor (0.45849609375 × 1024)
    floor (469.5)     		tx = 469
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.23193359375 × 210)
    floor (0.23193359375 × 1024)
    floor (237.5)     		ty = 237
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 469 / 237 ti = "10/469/237"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/469/237.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 469 ÷ 210
    469 ÷ 1024     		x = 0.4580078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 237 ÷ 210
    237 ÷ 1024     		y = 0.2314453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4580078125 × 2 - 1) × π
    -0.083984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.26384470
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2314453125 × 2 - 1) × π
    0.537109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.68737886662598
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26384470} λ = -0.26384470}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.68737886662598))-π/2
    2×atan(5.40529412396801)-π/2
    2×1.38786087791554-π/2
    2.77572175583108-1.57079632675     		φ = 1.20492543
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26384470} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.117188°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20492543 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.037142°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 469 KachelY 237 -0.26384470 1.20492543 -15.117188 69.037142
    Oben rechts KachelX + 1 470 KachelY 237 -0.25770877 1.20492543 -14.765625 69.037142
    Unten links KachelX 469 KachelY + 1 238 -0.26384470 1.20272393 -15.117188 68.911005
    Unten rechts KachelX + 1 470 KachelY + 1 238 -0.25770877 1.20272393 -14.765625 68.911005
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20492543-1.20272393) × R
    0.00220149999999997 × 6371000     		dl = 14025.7564999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20492543-1.20272393) × R
    0.00220149999999997 × 6371000     		dr = 14025.7564999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26384470--0.25770877) × cos(1.20492543) × R
    0.00613593000000001 × 0.357762684397617 × 6371000     		do = 13985.6624468314m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26384470--0.25770877) × cos(1.20272393) × R
    0.00613593000000001 × 0.359817604079576 × 6371000     		du = 14065.9933876494m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20492543)-sin(1.20272393))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.357762684397617-0.359817604079576)×R²
    abs(-0.25770877--0.26384470)×0.00205491968195853×R²
    0.00613593000000001×0.00205491968195853×6371000²
    0.00613593000000001×0.00205491968195853×40589641000000     		ar = 196722926.531266m²