Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 46898 / 56047
↖ ↑ ↗
← N 25.207426°
W 51.190796°		 ← 276.34 m → N 25.207426°
W 51.188049°		 →
↑
276.31 m
↓
↑
276.31 m
↓
N 25.204941°
W 51.190796°		 ← 276.35 m →
76 357 m²		 N 25.204941°
W 51.188049°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 46898 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56047 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.357807159423828 y=0.427608489990234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.357807159423828 × 217)
    floor (0.357807159423828 × 131072)
    floor (46898.5)     		tx = 46898
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.427608489990234 × 217)
    floor (0.427608489990234 × 131072)
    floor (56047.5)     		ty = 56047
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 46898 / 56047 ti = "17/46898/56047"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/46898/56047.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 46898 ÷ 217
    46898 ÷ 131072     		x = 0.357803344726562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56047 ÷ 217
    56047 ÷ 131072     		y = 0.427604675292969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.357803344726562 × 2 - 1) × π
    -0.284393310546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.89344794
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.427604675292969 × 2 - 1) × π
    0.144790649414062 × 3.1415926535     		Φ = 0.454873240494713
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.89344794} λ = -0.89344794}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.454873240494713))-π/2
    2×atan(1.57597360073813)-π/2
    2×1.00537445504242-π/2
    2.01074891008484-1.57079632675     		φ = 0.43995258
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.89344794} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -51.190796°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.43995258 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.207426°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 46898 KachelY 56047 -0.89344794 0.43995258 -51.190796 25.207426
    Oben rechts KachelX + 1 46899 KachelY 56047 -0.89340000 0.43995258 -51.188049 25.207426
    Unten links KachelX 46898 KachelY + 1 56048 -0.89344794 0.43990921 -51.190796 25.204941
    Unten rechts KachelX + 1 46899 KachelY + 1 56048 -0.89340000 0.43990921 -51.188049 25.204941
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.43995258-0.43990921) × R
    4.3369999999987e-05 × 6371000     		dl = 276.310269999917m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.43995258-0.43990921) × R
    4.3369999999987e-05 × 6371000     		dr = 276.310269999917m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.89344794--0.89340000) × cos(0.43995258) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.904771860252152 × 6371000     		do = 276.340614949149m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.89344794--0.89340000) × cos(0.43990921) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.904790330535089 × 6371000     		du = 276.346256248983m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.43995258)-sin(0.43990921))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.904771860252152-0.904790330535089)×R²
    abs(-0.89340000--0.89344794)×1.8470282937777e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.8470282937777e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.8470282937777e-05×40589641000000     		ar = 76356.5293150447m²