Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 46894 / 56030
↖ ↑ ↗
← N 25.249664°
W 51.201782°		 ← 276.19 m → N 25.249664°
W 51.199036°		 →
↑
276.25 m
↓
↑
276.25 m
↓
N 25.247180°
W 51.201782°		 ← 276.19 m →
76 296 m²		 N 25.247180°
W 51.199036°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 46894 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56030 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.357776641845703 y=0.427478790283203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.357776641845703 × 217)
    floor (0.357776641845703 × 131072)
    floor (46894.5)     		tx = 46894
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.427478790283203 × 217)
    floor (0.427478790283203 × 131072)
    floor (56030.5)     		ty = 56030
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 46894 / 56030 ti = "17/46894/56030"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/46894/56030.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 46894 ÷ 217
    46894 ÷ 131072     		x = 0.357772827148438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56030 ÷ 217
    56030 ÷ 131072     		y = 0.427474975585938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.357772827148438 × 2 - 1) × π
    -0.284454345703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.89363968
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.427474975585938 × 2 - 1) × π
    0.145050048828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.455688167788254
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.89363968} λ = -0.89363968}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.455688167788254))-π/2
    2×atan(1.57725842808861)-π/2
    2×1.00574305268097-π/2
    2.01148610536193-1.57079632675     		φ = 0.44068978
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.89363968} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -51.201782°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.44068978 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.249664°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 46894 KachelY 56030 -0.89363968 0.44068978 -51.201782 25.249664
    Oben rechts KachelX + 1 46895 KachelY 56030 -0.89359175 0.44068978 -51.199036 25.249664
    Unten links KachelX 46894 KachelY + 1 56031 -0.89363968 0.44064642 -51.201782 25.247180
    Unten rechts KachelX + 1 46895 KachelY + 1 56031 -0.89359175 0.44064642 -51.199036 25.247180
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.44068978-0.44064642) × R
    4.33599999999923e-05 × 6371000     		dl = 276.246559999951m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.44068978-0.44064642) × R
    4.33599999999923e-05 × 6371000     		dr = 276.246559999951m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.89363968--0.89359175) × cos(0.44068978) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.904457643480243 × 6371000     		do = 276.187022062312m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.89363968--0.89359175) × cos(0.44064642) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.904476138420908 × 6371000     		du = 276.192669714938m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.44068978)-sin(0.44064642))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.904457643480243-0.904476138420908)×R²
    abs(-0.89359175--0.89363968)×1.84949406644153e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.84949406644153e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.84949406644153e-05×40589641000000     		ar = 76296.494845577m²