Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 46893 / 56031
↖ ↑ ↗
← N 25.247180°
W 51.204529°		 ← 276.25 m → N 25.247180°
W 51.201782°		 →
↑
276.25 m
↓
↑
276.25 m
↓
N 25.244696°
W 51.204529°		 ← 276.26 m →
76 314 m²		 N 25.244696°
W 51.201782°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 46893 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56031 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.357769012451172 y=0.427486419677734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.357769012451172 × 217)
    floor (0.357769012451172 × 131072)
    floor (46893.5)     		tx = 46893
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.427486419677734 × 217)
    floor (0.427486419677734 × 131072)
    floor (56031.5)     		ty = 56031
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 46893 / 56031 ti = "17/46893/56031"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/46893/56031.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 46893 ÷ 217
    46893 ÷ 131072     		x = 0.357765197753906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56031 ÷ 217
    56031 ÷ 131072     		y = 0.427482604980469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.357765197753906 × 2 - 1) × π
    -0.284469604492188 × 3.1415926535     		Λ = -0.89368762
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.427482604980469 × 2 - 1) × π
    0.145034790039062 × 3.1415926535     		Φ = 0.455640230888634
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.89368762} λ = -0.89368762}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.455640230888634))-π/2
    2×atan(1.57718282102186)-π/2
    2×1.00572137401168-π/2
    2.01144274802336-1.57079632675     		φ = 0.44064642
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.89368762} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -51.204529°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.44064642 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.247180°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 46893 KachelY 56031 -0.89368762 0.44064642 -51.204529 25.247180
    Oben rechts KachelX + 1 46894 KachelY 56031 -0.89363968 0.44064642 -51.201782 25.247180
    Unten links KachelX 46893 KachelY + 1 56032 -0.89368762 0.44060306 -51.204529 25.244696
    Unten rechts KachelX + 1 46894 KachelY + 1 56032 -0.89363968 0.44060306 -51.201782 25.244696
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.44064642-0.44060306) × R
    4.33599999999923e-05 × 6371000     		dl = 276.246559999951m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.44064642-0.44060306) × R
    4.33599999999923e-05 × 6371000     		dr = 276.246559999951m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.89368762--0.89363968) × cos(0.44064642) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.904476138420908 × 6371000     		do = 276.250293889367m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.89368762--0.89363968) × cos(0.44060306) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.904494631661076 × 6371000     		du = 276.25594220093m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.44064642)-sin(0.44060306))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.904476138420908-0.904494631661076)×R²
    abs(-0.89363968--0.89368762)×1.8493240168338e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.8493240168338e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.8493240168338e-05×40589641000000     		ar = 76313.9735611728m²