Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 46891 / 56052
↖ ↑ ↗
← N 25.195000°
W 51.210022°		 ← 276.31 m → N 25.195000°
W 51.207276°		 →
↑
276.31 m
↓
↑
276.31 m
↓
N 25.192515°
W 51.210022°		 ← 276.32 m →
76 348 m²		 N 25.192515°
W 51.207276°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 46891 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56052 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.357753753662109 y=0.427646636962891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.357753753662109 × 217)
    floor (0.357753753662109 × 131072)
    floor (46891.5)     		tx = 46891
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.427646636962891 × 217)
    floor (0.427646636962891 × 131072)
    floor (56052.5)     		ty = 56052
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 46891 / 56052 ti = "17/46891/56052"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/46891/56052.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 46891 ÷ 217
    46891 ÷ 131072     		x = 0.357749938964844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56052 ÷ 217
    56052 ÷ 131072     		y = 0.427642822265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.357749938964844 × 2 - 1) × π
    -0.284500122070312 × 3.1415926535     		Λ = -0.89378349
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.427642822265625 × 2 - 1) × π
    0.14471435546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.454633555996613
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.89378349} λ = -0.89378349}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.454633555996613))-π/2
    2×atan(1.57559590956179)-π/2
    2×1.00526601961434-π/2
    2.01053203922867-1.57079632675     		φ = 0.43973571
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.89378349} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -51.210022°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.43973571 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.195000°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 46891 KachelY 56052 -0.89378349 0.43973571 -51.210022 25.195000
    Oben rechts KachelX + 1 46892 KachelY 56052 -0.89373556 0.43973571 -51.207276 25.195000
    Unten links KachelX 46891 KachelY + 1 56053 -0.89378349 0.43969234 -51.210022 25.192515
    Unten rechts KachelX + 1 46892 KachelY + 1 56053 -0.89373556 0.43969234 -51.207276 25.192515
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.43973571-0.43969234) × R
    4.3369999999987e-05 × 6371000     		dl = 276.310269999917m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.43973571-0.43969234) × R
    4.3369999999987e-05 × 6371000     		dr = 276.310269999917m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.89378349--0.89373556) × cos(0.43973571) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.904864203161784 × 6371000     		do = 276.311169951984m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.89378349--0.89373556) × cos(0.43969234) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.904882664934231 × 6371000     		du = 276.316807476296m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.43973571)-sin(0.43969234))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.904864203161784-0.904882664934231)×R²
    abs(-0.89373556--0.89378349)×1.84617724474645e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.84617724474645e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.84617724474645e-05×40589641000000     		ar = 76348.3928383133m²