Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4689 / 3473
↖ ↑ ↗
← N 26.391870°
E 26.059570°		 ← 4 377.20 m → N 26.391870°
E 26.103515°		 →
↑
4 377.96 m
↓
↑
4 377.96 m
↓
N 26.352498°
E 26.059570°		 ← 4 378.69 m →
19 166 463 m²		 N 26.352498°
E 26.103515°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4689 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3473 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.57244873046875 y=0.42401123046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.57244873046875 × 213)
    floor (0.57244873046875 × 8192)
    floor (4689.5)     		tx = 4689
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.42401123046875 × 213)
    floor (0.42401123046875 × 8192)
    floor (3473.5)     		ty = 3473
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4689 / 3473 ti = "13/4689/3473"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4689/3473.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4689 ÷ 213
    4689 ÷ 8192     		x = 0.5723876953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3473 ÷ 213
    3473 ÷ 8192     		y = 0.4239501953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5723876953125 × 2 - 1) × π
    0.144775390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.45482530
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4239501953125 × 2 - 1) × π
    0.152099609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.47783501541272
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45482530} λ = 0.45482530}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.47783501541272))-π/2
    2×atan(1.61257941068675)-π/2
    2×1.01571067415613-π/2
    2.03142134831227-1.57079632675     		φ = 0.46062502
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45482530} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.059570°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.46062502 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.391870°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4689 KachelY 3473 0.45482530 0.46062502 26.059570 26.391870
    Oben rechts KachelX + 1 4690 KachelY 3473 0.45559229 0.46062502 26.103515 26.391870
    Unten links KachelX 4689 KachelY + 1 3474 0.45482530 0.45993785 26.059570 26.352498
    Unten rechts KachelX + 1 4690 KachelY + 1 3474 0.45559229 0.45993785 26.103515 26.352498
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.46062502-0.45993785) × R
    0.000687170000000015 × 6371000     		dl = 4377.96007000009m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.46062502-0.45993785) × R
    0.000687170000000015 × 6371000     		dr = 4377.96007000009m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45482530-0.45559229) × cos(0.46062502) × R
    0.000766990000000023 × 0.895774846076327 × 6371000     		do = 4377.19777470289m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45482530-0.45559229) × cos(0.45993785) × R
    0.000766990000000023 × 0.896080087169799 × 6371000     		du = 4378.68933325797m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.46062502)-sin(0.45993785))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.895774846076327-0.896080087169799)×R²
    abs(0.45559229-0.45482530)×0.000305241093472075×R²
    0.000766990000000023×0.000305241093472075×6371000²
    0.000766990000000023×0.000305241093472075×40589641000000     		ar = 19166462.8222444m²